biscuitの博客

复数的表示#

1. 用实部和虚部：
   $z=x+yi,Re_z=x,Im_z=y$

2. 极坐标形式：

   $$z=x+yi=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)\\[5bp] \text{其中} \left\{ \begin{matrix} x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\\[5bp]r=|z|\end{matrix}\right.\\[5bp]$$

   $\theta$定义为z的辐角，记作 $\theta = Argz$

3. 用欧拉公式：

   $$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\\[5bp] \text{这也是|z|=1时极坐标的形式}\\[5bp] \therefore z=x+yi=r(\cos\theta+i\cdot\sin\theta)=re^{i\theta}\\[5bp] z=re^{i\theta}\\$$

   简单推导一下欧拉公式：(用x替代$\theta$，懒)

   $$\begin{aligned} e^{ix}&=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^6}{6!}...\\[10bp] &=\underset{\text{偶交错是cos展开}}{\underset{}{(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}...)}}+\underset{\text{奇交错是sin展开}}{\underset{}{i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)}}\\[15bp] &=\cos x+i\sin x \end{aligned}$$

4. 共轭复数

   $$\text{就是把$\theta$ 变成-$\theta$}$$

复数的运算#

1. 实部虚部四则运算

2. 极坐标形式的运算(处理乘除方便)

   • $z_1\cdot z_2=r_1r_2(\cos(\theta_1 +\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))$

   • $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 -\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))$

   • 棣莫弗定理：$z^{n}=r^{n}(\cos(n\theta)+i\sin (n\theta))$

   • 这个定理还可以定义复数的开根：给定$z=re^{i\theta},\theta=\arg z$，如果$\exist w=\rho e^{i\phi},w^n=z$则称$w$是$z$的n次方根,$\phi=\frac{\theta＋2k\pi}{n},k=0,1,2,3...n-1,\rho=\sqrt[n]{r}$。注意，开根函数是多值函数,值的个数＝开根次数n，实数在复数域下开根也能开出来多值。

3. 欧拉公式

   • $z_1\cdot z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$

4. 共轭复数及其运算：

   • $\overline{z}\cdot z=|z|^{2}$

   • $\overline{z}_1\cdot \overline{z}_2=\overline{z_1\cdot z_2}$(用欧拉公式证)

   • $\frac{\overline{z}_1}{\overline{z_2}}=\overline{\frac{z_1}{z_2}}$(用欧拉公式证)

例题1：求$\sqrt[3]{i}$

solution

$$\theta=\pi/2+2k\pi\\ \sqrt[3]{i}=e^{i(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3})},k=0,1,2\\ \therefore \sqrt[3]{i}=e^{i\frac{\pi}{6}} or e^{i\frac{5\pi}{6}} or e^{i\frac{3\pi}{2}}$$

例题2：求$\sqrt[3]{1}$（在复数域上）

solutiion

$$\theta=2k\pi\\ \sqrt[3]{1}=e^{i\frac{2k\pi}{3}},k=0,1,2\\ \therefore \sqrt[3]{1}=1 or e^{i\frac{2\pi}{3}} or e^{i\frac{4\pi}{3}}$$

复球面与扩充复平面#