biscuitの博客

复变函数导数的定义#

某点处可导：与实变函数类似，$\omega=f(z)$ 是复平面上区域$D$内有定义的单值函数，并且 $z_0\in D$。记 $\Delta z=z-z_0$ 如果极限

存在且唯一，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 点处可导，该极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 点的导数，记作：

区域内可导：如果 $f(z)$ 在 $D$ 内处处可导，则 $f(z)$ 在 $D$ 内可导

• $\Delta z=\Delta x+i\Delta y=(x-x_0)+i(y-y_0)$，和一元函数不同，一元函数 $\Delta x$ 只能沿着实轴逼近零，而复变函数 $\Delta z$ 可以沿着复平面上任一曲线逼近0，和二元函数的偏导数的定义类似，通常考察沿平行于实轴和虚轴方向逼近于 0。
• 可导性要求沿所有路径趋近极限值相同，否则导数不存在。

可导性的判定#

1. 根据定义

   $$\text{$f(z)$在$z_0$处可导} \iff f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=f^{\prime}(z_0)\Delta z+\rho(\Delta z)\Delta z\tag{1}$$

   其中，$\lim_{\Delta z\to0}{\rho(\Delta z)}=0$ 也就是 $|\rho(\Delta z)\Delta z|=o(|\Delta z|),\Delta z\to 0$

2. 根据复变函数可导的充要条件：

   1. 实部函数 $u(x,y)$ 和虚部函数 $v(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微
   2. $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy$ 实部虚部函数满足柯西黎曼条件：
   $$\left\{\begin{matrix} \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x}&=\frac{\partial v}{\partial y}\\[10bp] \frac{\partial u}{\partial y}&=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{align*} \end{matrix}\right.$$

可导性质#

1. 四则运算保持可导性，导数的四则运算与实变函数相同
2. 复合保持函数可导性，并且遵从链导法则：与实变函数相同。

复变函数可微定义#

结合（1）式，回想实变函数对微分的定义：微分是增量的线性主部，如果 $\Delta y=y^{\prime}(x_0)(\Delta x)+o(\Delta x)$ ,那么微分就是 $y^{\prime}(x_0)\Delta x$
对于复变函数：设函数 $\omega=f(z)$ 在点 $z_0$ 处可导，那么（1）式中的 $f^{\prime}(z_0)\Delta z，(\Delta z\neq 0）$ 为函数增量的线性主部，也就是在 $z_0$ 点的微分，记作

也称函数在 $z_0$ 点可微。

• 复变函数的微分与函数增量之间也相差一个 $\Delta z$ 的高阶无穷小

• 复变函数的可导与可微本质上是等价的，二者判定方式相同。

e.g. $f(z)=\overline{z}$ 在全部复平面都不可微：

e.g.2(z)=Re z处处不可导

e.g.3:讨论$f(z)=|z|^2$的可导性

• 哪怕实部虚部函数都是可微，组成的复变函数也可能处处不可微

复变函数解析定义#

某点处解析：如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内可导，那么称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析，反之称为不解析。

奇点：如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内处处可导，但是在 $z_0$ 处不可导，则 $z_0$ 被称为奇点。

区域内解析：如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析，那么称 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，或称 $f(z)$ 是区域 $D$ 内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）

• 从点的角度出发，解析比可导（可微）更严格， $z_0$ 处解析 $\Rightarrow z_0$ 的某个邻域内处处可导，$z_0$ 处可导 $\nRightarrow$ 解析
• 从区域角度出发，解析和可导（可微）等价。区域 $D$ 可导 $\Leftrightarrow$ 区域 $D$ 解析

解析性的继承#

四则运算保留函数的解析性

求导保留函数的解析性

定理一：复变函数可微（可导）与实部虚部函数的联系#

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义，那么 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0(x_0,y_0)$ 可微（可导） 的 充分必要条件 是：

1. $u(x,y),v(x,y)$ 在 点 $z_0(x_0,y_0)$ 处 可微（或者更严格：u，v 一阶偏导连续）

2. 在点 $z_0$ 处满足柯西黎曼条件：

tip:速记

复变函数实质上是二维函数的线性组合，并且映射是 $\mathbf{F}:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2,\mathbf{x}=(x,y),\mathbf{F}(\mathbf{x})=(u(x,y),v(x,y))$

所以柯西黎曼的这两个式子可以用雅各比行列式的形式速记：(主对角线相等，副对角线相等添负号)，下面解释其雅各比矩阵的具体含义

$$|J|=\begin{vmatrix}\frac{\partial( u\,, v)}{\partial( x\,,y)}\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\[10bp] \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix} \overset{\text{代入C-R}}{\underset{}{=}}\begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}&-\frac{\partial v}{\partial x}\\[10bp] \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial x} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a&-b\\[10bp] b&a \end{vmatrix}$$

此时对应了一个复数的矩阵表示。 $|J|=a^2+b^2\neq0$ （也是导数模的平方）

此时

说明若复变函数可微，其导数可以由其实部虚部二元函数的偏导确定。

• 建议复习多元函数连续偏导可微之间的关系。
• 实战中表示 $f^{\prime}(z)$ 需灵活选择，实部虚部函数可以用两个也可以用一个。

定理二：复变函数解析与实部虚部函数的联系（解析性的判定定理）#

设函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义，那么 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内 解析 的 充分必要条件 是：

1. $u(x,y),v(x,y)$ 在 区域 $D$ 内 可微（或者更严格：u，v 一阶偏导连续）

2. 在 区域 $D$ 内处处满足柯西黎曼条件

调和函数的定义#

对于函数 $\Phi(x,y)$ ,若在区域D内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程

则称函数 $\Phi(x,y)$ 为区域D内的调和函数。

解析函数与调和函数的关系#

从解析到调和:任何在区域D 内解析的函数，其实部和虚部均为区域D 内的调和函数。

共轭调和函数：对于函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ ，如果 $f(z)$ 解析，则称其虚部函数v是实部函数u的共轭调和函数

那么反过来，如果给定一个调和函数 $u(x,y)$，能否找到一个共轭调和函数 $v(x,y)$，使得 $u(x,y)+iv(x,y)$ 成为解析函数呢？

从调和到解析:答案是肯定的。在单连通区域内，我们可以通过线积分的方式获得共轭调和函数。构造如下积分：

这样构造与路径无关(证明很简单， $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ 这两个二阶偏导数因为复函数解析所以满足调和函数的条件 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ ，恰好又满足格林公式的条件 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-(-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2})＝0$。)，且u,v满足柯西黎曼方程。而且这两个函数一阶偏导显然连续，由复变函数解析的充要条件，这两个函数构成的复变函数一定是解析的。

常见的快速判断函数是否解析的方法：

整式处处解析。

有理函数：除了分母为零的点，其余都解析。

指数、三角、对数函数：在定义域内解析。

复合函数：如果每一层都解析，那整体也解析。