biscuitの博客

傅里叶积分定理(了解就行)#

若定义在 $(-\infty,+\infty)$ 函数满足

1. 在任意有限区间上满足狄利克雷条件
2. 在 $(-\infty,+\infty)$ 上函数绝对可积，即 $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|dt$

那么傅里叶积分：

傅里叶变换#

所谓傅里叶变换，简单理解为变自变量，把t(time)变成频率 $\omega$(frequency)形式化定义如下

相应的，逆变换的形式是

求傅里叶变换的过程就是纯纯的积分

$\delta$ 函数（单位脉冲函数）#

$\delta$ 函数：形如

定义： $\delta$ 函数的反常积分积分值为1

令 $\lambda\to 0$，那么 $\mathcal{\delta}_{\lambda}(t)\to\mathcal{\delta}(t)$

同理

$\delta$ 函数的性质#

1. $\delta(t)$ 是偶函数

2. 筛选性质：（前提：$f(t)$ 是连续函数）

   $$\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt=f(t_0)}$$

   令 $t_0=0$

   $$\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-0)f(t)dt=f(0)}$$

   TIP

   这个性质可证 $\delta(t)$ 的傅里叶变换是1，把 $e^{-i\omega t}$ 当成 $f(t),t_0=0$ 就行；顺带就证明了1的傅里叶逆变换是 $\delta(t)$

3. 坐标缩放

   $$\boxed{\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)}$$

   TIP

   a=-1的时候体现 $\delta(t)$ 是偶函数

4. 高阶导数

   $$\boxed{\delta^{(n)}(-t)=(-1)^n\delta^{(n)}(t)}$$

5. 重要等式（由筛选性质得来）

   $$\boxed{g(t)\delta(t-t_0)=g(t_0)\delta(t-t_0)}$$

6. $\delta$ 函数的傅里叶变换

   $$\boxed{\begin{align*} \mathcal{F}[\delta(t)]&=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)e^{-i\omega t}dt=1\\ \mathcal{F}[\delta(t-t_0)]&=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)e^{-i\omega t}dt=e^{-i\omega t_0} \end{align*}}$$

广义傅里叶变换#

当被变换的函数平均值不为0或 $-\infty\to+\infty$ 广义积分不收敛（比如说持续震荡的三角函数）时，就要用广义傅里叶变换

傅里叶变换的性质#

记 $f(t)$ 的傅里叶变换是 $F(\omega)$

1. 线性性：

   $$\mathcal{F}[k_1f(t)+k_2g(t)]=\mathcal{F}[k_1f(t)]+\mathcal{F}[k_2g(t)]$$

2. 对称性： 交换自变量，有

   $$\boxed{\mathcal{F}\left[F(t)\right]=2\pi f(-\omega)}$$

3. 放缩性质：

   $$\boxed{\mathcal{F}\left[f(at)\right]=\frac{1}{|a|}\mathcal{F}\left(\frac{\omega}{a}\right),\;\;a\neq 0}$$

   简单证一下：

   $$\mathcal{F}\left[f(at)\right]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(at)e^{-i\omega t}dt\\$$

   a>0时，令 $at=\tilde{t}$, 则有 $t=\dfrac{\tilde{t}}{a}$, $dt=\frac{1}{a}d\tilde{t}$ 代入得

   $$=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tilde{t})e^{-i\omega \frac{\tilde{t}}{a}}\frac{1}{a}d\tilde{t}=\frac{1}{|a|}F\left(\frac{\omega}{a}\right)$$

   a<0时，注意积分上下限变为 $(+\infty\to-\infty)$ ，在外面加负号调回来，就得到了 $|a|$ 。

4. 平移性质：

   注意 $F(\omega)$ 正负号变化是跟 $f(t)$ 反过来的

   $$\boxed{\begin{aligned} \star\; \mathcal{F}[f(t\pm t_0)]&=e^{\pm i\omega t_0}F(\omega)\\[10pt] \mathcal{F}^{-1}[e^{\pm i\omega t_0}F(\omega)]&=f(t\pm t_0)\\[10pt] \star\; \mathcal{F}[e^{\pm i\omega_0 t}f(t)]&=F(\omega\mp \omega_0)\\[10pt] \mathcal{F}^{-1}[F(\omega\pm\omega_0)]&=e^{\mp i\omega_0 t}f(t) \end{aligned}}$$

5. 导数性质

   $$\boxed{\begin{aligned} \mathcal{F}[f^{(n)}(t)]&=i\omega F(\omega)\\[10pt] F^{(n)}(\omega)&=\mathcal{F}[(-i t)^nf(t)] \end{aligned}}$$

   简单证一下：(以一阶导为例)

   $$\begin{aligned} \mathcal{F}[f^{(1)}(t)]&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\omega t}df(t)\\ &=-\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)(-i\omega)e^{-i\omega t}dt\\ &=i\omega F(\omega)\\ \end{aligned}$$$$\begin{aligned} F^{(1)}(\omega)&=\frac{d}{d\omega}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)(-it)e^{-i\omega t}dt\\ &=\mathcal{F}[-itf(t)] \end{aligned}$$

6. 积分乘积性质

   $$\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}f_1\cdot {f_2} dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F_1\cdot\bar{F_2}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\bar{F_1}\cdot F_2 d\omega}$$

   特别地，如果 $f_1=f_2$ 得到帕斯威尔定理：

   $$\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2 dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\omega)|^2d\omega}$$

   简单证一下：

   $$f_1=\mathcal{F}^{-1}[F_1]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F_2e^{i\omega t}d\omega\\$$

   求共轭的过程给每一项分别求共轭,积分的时候换一下积分次序

eg1 求1：$f(t)=\sin (\omega_0 t)u(t)$ 2: $f(t)=e^{i\omega_0 t}tu(t)$

主要是第二个，方法有很多，可以用对称性，也可以注意到tu(t)求导之后就是 u（t）,或者用放缩也可以，里面成一个i

eg2 求积分 $I=\int_{-\infty}^{+\infty}(\frac{sin t}{t})^2dt$

TIP

利用parsevar定理，把 $\frac{sin t}{t}$ 当成 f（t）