Fourier变换的考试速通版 - Biscuitの赛博小窝

Biscuit

哈基米，你要大步大步地走下去啊，不行，要悠哒悠哒才能欣赏到沿途的风景。

公告

欢迎来到我的博客喵。

412 字

2 分钟

Fourier变换的考试速通版

2025-11-13

傅立叶变换

傅里叶变换对照表#

原函数 $f(t)$	傅里叶变换 $F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\}$	注释
$1$	$2\pi \delta(\omega)$	常数
$e^{i\omega_0t}$	$2\pi \delta(\omega - \omega_0)$	指数函数
$\delta(t)$	$1$	冲激函数
$\cos(\omega_0t)$	$\pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$	余弦函数
$\sin(\omega_0t)$	$i\pi[\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)]$	正弦函数
$u(t)$	$\pi \delta(\omega) + \dfrac{1}{i\omega}$	单位阶跃函数的变换
$e^{-\beta t}u(t)$	$\dfrac{1}{\beta + i\omega}$	指数衰减， $\beta>0$ ， $u(t)$ 用来限制 $t > 0$
$e^{-a\\|t\\|}$	$\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}$	双边衰减， $a>0$
$t^n e^{-at}u(t)$	$\dfrac{n!}{(a + i\omega)^{n+1}}$	乘以 $t^n$ ，对单边的n阶导（抹掉i）， $a>0$
$e^{-t^2/2}$	$\sqrt{2\pi} e^{-\omega^2/2}$	高斯函数
$Ee^{-\beta t^2}$	$E\sqrt{\dfrac{\pi}{\beta}} e^{-\omega^2/(4\beta)}$	钟形脉冲， $\beta>0$
$\begin{cases}\dfrac{2E}{\tau}(t+\dfrac{\tau}{2}) & 0<t < \dfrac{\tau}{2}\\[6pt]-\dfrac{2E}{\tau}(t+\dfrac{\tau}{2}) & -\dfrac{\tau}{2}<t<0\\[6pt]0 & t > \\|\dfrac{\tau}{2}\\|\end{cases}$	$\dfrac{8E}{\tau\omega^2}\cdot\sin^2(\omega \tau/4)$	三角形函数
$\begin{cases}E & t < \\|\dfrac{\tau}{2}\\|\\[6pt]0 & t > \\|\dfrac{\tau}{2}\\|\end{cases}$	$2E \cdot \dfrac{(\omega \tau/2)}{\omega}$	矩形函数
$sgn(t)$	$\dfrac{2}{i\omega}$	符号函数

线性性质：
$\mathcal{F}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(\omega) + b G(\omega)$
对称性：
$\mathcal{F}\{F(t)\} = 2\pi f(-\omega)$ $\mathcal{F}\{f(\omega)\} = \frac{1}{2\pi} F(-t)$
平移性质：(动t)
$\mathcal{F}\{f(t \pm t_0)\} = e^{\pm i\omega t_0} F(\omega)$
调制性质：（动ω）
$\mathcal{F}\{e^{\mp i\omega_0 t} f(t)\} = F(\omega \pm \omega_0)$
推论：
$\mathcal{F}\{\cos(\omega_0 t) f(t)\} = \frac{1}{2}[F(\omega - \omega_0) + F(\omega + \omega_0)]\\[6pt] \mathcal{F}\{\sin(\omega_0 t) f(t)\} = \frac{1}{2i}[F(\omega - \omega_0) - F(\omega + \omega_0)]$
微分性质：
$\mathcal{F}\left\{f^{(n)}(t)\right\} = (i\omega)^n F(\omega)$ $\mathcal{F}^{-1}\{F^{(n)}(\omega)\} = (-it)^n f(t)$
积分性质：
$\mathcal{F}\left\{\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau\right\} = \frac{F(\omega)}{i\omega} + \pi F(0) \delta(\omega)$
时间缩放性质：
$\mathcal{F}\{f(at)\} = \frac{1}{|a|} F\left(\frac{\omega}{a}\right)$
卷积定理：

乘积-> $\frac{1}{2\pi}$ 卷积
$\mathcal{F}\{f(t)\cdot g(t)\} = \frac{1}{2\pi} F(\omega) * G(\omega)$
卷积-> 乘积
$\mathcal{F}\{f(t) * g(t)\} = F(\omega)\cdot G(\omega)$
其中卷积定义为：
$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau$
Parseval定理：
$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega$
双重积分定理：

\int_{-\infty}^{\infty} f(t) g(t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \overline{G(\omega)} d\omega=\int_{-\infty}^{\infty} \overline{F(\omega)} G(\omega) d\omega

利用傅里叶变换可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。

利用的是微分性质：

\mathcal{F}\{f^{(n)}(t)\} = (i\omega)^n F(\omega)

和积分性质：

\mathcal{F}\left\{\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau\right\} = \frac{F(\omega)}{i\omega} + \pi F(0) \delta(\omega)

Fourier变换的考试速通版

作者

Biscuit

发布于

2025-11-13

许可协议