解析函数：高阶导数 - Biscuitの赛博小窝

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解析函数：高阶导数

2025-08-25

柯西积分公式#

如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析， $C$ 为 $D$ 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全包含于 $D$ ， $z_0$ 为 $C$ 内部的任一点（不能在C上），那么

\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz=f(z_0)2\pi i

设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析， $\Gamma$ 是区域内包含点 $a$ 的正向简单闭曲线，则 $f$ 的 $n$ 阶导数公式为：

f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_{\Gamma} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} \, dz, \quad n = 0,1,2,\dots

这个公式是对柯西积分公式两遍同时求导得到的。当然，这只是证法之一，也可以用数学归纳法或者暴力求导来证明，纯纯的计算而且没啥含金量，跳了。

高阶导数公式还说明了任意阶导数都由边界积分决定。反过来，计算边界积分的时候，可以用高阶导数。

\oint_{\Gamma} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} dz=\frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(a) , \quad n = 0,1,2,\dots

对于一元实变函数而言，函数即使可导，也不意味着无限可导，更不能保证高阶导数的连续性和 Taylor 展开

对于复变函数而言，解析性是一种极强的光滑性，高阶导数不仅存在，而且连续且解析.

解析函数：高阶导数

作者

biscuit

发布于

2025-08-25

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