biscuitの博客

1. 直接法：第二型曲线积分/二重积分#

如果 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在有向光滑曲线 $C$ 上 连续，那么 $f(z)$ 沿 $C$ 的积分存在，并且

NOTE

证明：(用定义)

$$\begin{align*} z_k&=x_k+iy_k,x_k-x_{k-1}=\Delta x_k,y_k-y_{k-1}=\Delta y_k\\ \zeta_k&=\xi_k+i\eta_k,u_k=u(\xi_k,\eta_k),v_k=v(\xi_k,\eta_k)\\ S_n&=\sum_{k=1}^{k=n}f(\zeta_k)\Delta z_k\\ &=\sum_{k=1}^{k=n}(u_k+iv_k)(\Delta x_k+i\Delta y_k)\\ &=\sum_{k=1}^{k=n}[u_k\Delta x_k-v_k\Delta y_k+i(v_k\Delta x_k+u_k\Delta y_k)]\\ &=\sum_{k=1}^{k=n}u_k\Delta x_k-v_k\Delta y_k+\sum_{k=1}^{k=n}i(v_k\Delta x_k+u_k\Delta y_k)\\ &\text{ $f(z)$ 沿曲线 $C$ 连续，由复变函数连续的充要条件是实部虚部函数连续，}\\ &\text{故 $u(x,y),v(x,y)$ 在曲线$C$上也连续}\\ &\text{再由可积定义，函数连续必可积，$u,v$ 对应的两个第二型曲线积分一定存在。}\\ &=\int_C{udx-vdy}+i\int_C{vdx+udy} \end{align*}$$

• 复变函数沿某曲线可积，能表示成两个第二型曲线积分的线性组合
• 曲线 $C$ 上连续不代表曲线 $C$ 上处处连续，曲线 $C$ 上连续只是说 $C$ 上的点沿 $C$ 的方向是连续的，而处处连续要考虑曲线外的方向

2. 参数化：定积分#

如果 $C$ 是有向的简单光滑曲线，$z=z(t)=x(t)+iy(t),t\in[t_0,T]$，且 $t_0,T$ 分别对应曲线的起点和终点，如果 $f(z)$ 在曲线 $C$ 上 连续，那么

证明

$$\begin{align*} dz&=(x^\prime(t)+iy^\prime(t))dt\\ \int_Cf(z)dz&=\int_C[u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))]\cdot(x^\prime(t)+iy^\prime(t))dt\\ &\text{令}u(t)=u(x(t),y(t)),v(t)=v(x(t),y(t))\\ &=\int_C[u(t)x^\prime(t)-v(t)y^\prime(t)]dt+i\int_C[v(t)x^\prime(t)+u(t)y^\prime(t)]dt \end{align*}$$

复变函数积分的性质#

1. 有向性：$\int_C f(z)dz=-\int_{C^-} f(z)dz$

2. $\int(kf(z)+lg(z))dz=k\int f(z)dz+l\int g(z)dz$

3. 分段可加性：如果 $C=C_1+C_2+\dots+C_n$

4. 模有界性：$|\int f(z)dz|\leq\int|f(z)|ds\leq ML$，这里 $|f(z)|\leq M,\forall z\in \mathbb{C}|$，积分路径的长度为 $L$

简要证明一下：

背景#

1. 复习积分与路径无关的四个等价条件

2. 如果 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在有向光滑曲线 $C$ 上 连续，那么 $f(z)$ 沿 $C$ 的积分存在，并且

   $$\int_Cf(z)dz=\int_C{udx-vdy}+i\int_C{vdx+udy}$$

基本形式（回路在解析区域内，不含边界）#

柯西古撒定理：对于单连通区域（不包含奇点）$D,C$ 为 $D$ 中任意一条简单闭曲线(不自交，端点相等，连续)，如果 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，那么

简而言之，柯西古撒定理就是解析函数在解析的单连通区域内闭路积分为0

:::note[推导]：

这两个第二型曲线积分如果满足积分与路径无关则有

这一坨式子很熟悉，是柯西-黎曼条件，即 $f(z)$ 在某点处可微的必要条件之一。只要加上 $u$，$v$ 一阶偏导数连续（即 $u$，$v$ 在某点可微）这个补充条件，就成了充要条件。

回顾格林公式： $\oint Pdx+Qdy=\iint_D(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y})dxdy$ 当这玩意等于0时，显然满足#条件，此时 $\oint_Cf(z)dz=\oint_C{udx-vdy}+i\oint_C{vdx+udy}=0$。

但是这样还不够，课本上给的前提是 $f$ 在 $D$ 上解析，不是可微，为什么会给出一个更严格的条件呢？这是因为 $u$，$v$ 在 $D$ 内处处可微且处处满足柯西黎曼条件，这恰好是 $f$ 在区域 $D$ 解析的充要条件。

:::

推论1：区域内曲线推广到边界上#

1. 闭区域内的柯西古撒定理：如果简单闭曲线 $C$ 为单连通区域 $D$ 的边界（即 $C=\partial D$），且函数 $f(z)$ 在闭区域 $\overline{D}=D+C$ 上解析，那么

   $$\oint_Cf(z)dz=\oint_C{udx-vdy}+i\oint_C{vdx+udy}=0$$

2. 边界连续内部解析的柯西古撒定理：如果简单闭曲线 $C$ 为单连通区域 $D$ 的边界（即 $C=\partial D$），函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析且在闭区域 $\overline{D}=D+C$ 上连续，那么

   $$\oint_Cf(z)dz=\oint_C{udx-vdy}+i\oint_C{vdx+udy}=0$$

• 推论1到2是将“整个闭区域解析”弱化为“闭区域内部解析，边界连续”

推论2：复合闭路定理（有洞的柯西古撒定理）#

复合闭路定理：设 $C$ 为多连通区域$D$的一条简单闭曲线，$C$ 内含有简单闭曲线 $C_k,k=1,2,3...C_k$ 它们相互不包含，也互不相交， $C$ 和 $C_k$ 均取正方向，$f(z)$在区域 $D$ 内解析，记 $C_k^-$ 为曲线 $C_k$ 负方向，则

证明

总体思路：闭路变形原理：区域内一个解析函数沿简单闭曲线（对应上文的 $C$）的积分是0（柯西古撒定理），对这个简单闭曲线做变形，同时保持其连续性且不经过函数的不解析点（对应上文的 $C_k$）这样的变形不会改变积分值

如图，在 $C$ 中取简单闭曲线 $C_1$,用直线段 $AA^\prime,BB^\prime$ 链接，那么便产生了两个不包含奇点的闭区域，$f(z)$ 在这两个闭区域边界的积分分别用柯西古撒定理，再加一起，直线段的积分因方向相反抵消，就能得到（1）式。

TIP

如果一个函数在路径内只有有限个奇点，而在其他地方解析，那么整个积分可以看作是这些奇点“局部贡献”的总和（解析处闭路积分=0）。

这就是留数定理

推论3：柯西积分公式(配合复合闭路定理)#

先来回顾一道陈年老题： 函数 $f(z)=1/z$ 在圆 $C:z=Re^{i\theta}$ 上的积分为:

solution

$$\oint f(z)dz=\int_0^{2\pi}\frac{1}{Re^{i\theta}}iRe^{i\theta}d\theta=2\pi i$$

推广一下，令 $F(z)=\dfrac{f(z)}{z-z_0}$ 在简单闭曲线 $C$ 围成的区域内解析（圆周 $C$ 换成任意闭曲线，并且奇点由 $\dfrac{1}{z-z_0}$提供, $z_0\in C$），则积分

柯西积分公式：如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内处处解析，$C$ 为 $D$ 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全包含于 $D$，$z_0$ 为 $C$ 内部的任一点（不能在 $C$ 上），那么

• 当回路包含奇点时，才会用到复合闭路和柯西积分公式，不包含时直接柯西古撒定理得0

• 在实际的计算中，往往需要手动找出奇点并化成许多个柯西积分公式的形式。常见的有拆分母。

• 如果遇到奇点在积分路径上的情况，不能用柯西积分公式，但可以考虑让 $a$ 从内部趋近边界，然后取极限。用 Plemelj公式（或称柯西积分的边界值公式）这里不多讲。

推论4：高阶导数公式#

高阶导数公式：设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内的任意一条正向简单闭曲线，$z_0$ 为 $C$ 内部的任一点（不能在 $C$ 上），那么对于任意正整数 $n$，都有

推论5：平均值公式#

平均值公式：设 $D\subset\mathbb{C}$ 是一个开集，函数 $f$ 在区域 $D$ 上解析。闭圆盘 $|z-z_0|=R$ 完全包含在解析区域内，那么函数 $f$ 在圆心 $z_0$ 处的值等于在圆周上的值的算数平均：

证明

用柯西积分公式进行证明

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{z-z_0}dz\\[5bp] z=z_0+re^{i\theta}\\[5bp] f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\oint\frac{f(z)}{re^{i\theta}}re^{i\theta}d\theta$$

推论6：柯西不等式#

柯西不等式：设 $f(z)$ 在 $C:|z-z_0|=\rho$ 所围成的区域（注意这里是闭圆盘，包括圆周）上解析，若在圆周上有 $|f(z)|\leq M$ 则

推论7：解析函数积分与路径无关和原函数存在定理#

1. 积分与路径无关： 若 $f(z)$ 是区域 $D$ 内的解析函数，那么曲线积分 $\int_Cf(z)$ 在 $D$ 内与路径无关，只与起始点有关。

   证明

   设 $\Gamma,C$ 为 $D$ 内任意同向的从 $z_1\to z_2$ 的路径，由柯西古撒定理，

   $$\begin{align*} &\oint_{C^-+\Gamma}f(z)dz=0\\ &\int_{\Gamma}f(z)dz-\int_Cf(z)dz=0\\ &\therefore\int_{\Gamma}f(z)dz=\int_Cf(z)dz \end{align*}$$

   常见的全纯函数以及部分解析的函数： 指数函数 $e^z$ ,幂函数 $z^n$ 以及对应的多项式函数，三角函数与双曲函数

   如 $\frac{1}{z}$ 这种在区域 $\mathbb{C}/{(0,0)}$ 内解析，若闭区域积分不是单连通则参考复合闭路定理

   如 $\ln (z+1)$ 在 $(-1.+\infin)$ 内解析

2. 原函数存在定理： 设 $f(z)$ 是区域 $D$ 内的解析函数，那么存在变上限积分函数 $F(z)$，满足：

   $$F(z)=\int_{z_0}^zf(\zeta)d\zeta$$

   $F(z)$ 也是解析函数，并且满足

   $$F^\prime(z)=f(z)$$

   证明

   $$\begin{align*} F^\prime(z)&=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}\\[10bp] &=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\int_{z_0}^{z+\Delta z}f(\zeta)d\zeta-\int_{z_0}^{z}f(z)d\zeta}{\Delta z}\\[10bp] &=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\int_z^{z+\Delta z}f(\zeta)d\zeta}{\Delta z}\\ &\forall \zeta>0,\exist \delta>0,when\,|\Delta z|<\delta\\ &|\frac{\int_z^{z+\Delta z}f(\zeta)d\zeta}{\Delta z}-f(z)|<\epsilon\\ as\,long\,as&\frac{|\int_z^{z+\Delta z}f(\zeta)d\zeta-\int_z^{z+\Delta z}f(z)d\zeta|}{|\Delta z|}<\epsilon\\ &\frac{|\int_z^{z+\Delta z}[f(\zeta)-f(z)]d\zeta|}{|\Delta z|}<\epsilon\\ &\frac{\int_z^{z+\Delta z}|f(\zeta)-f(z)|d\zeta}{|\Delta z|}<\epsilon\\ &\frac{\int_z^{z+\Delta z}|f(\zeta)|-|f(z)|d\zeta}{|\Delta z|}<\epsilon\\ &if \Delta z\to 0,then \zeta_{\Delta z}\to z\\ &\therefore F^\prime(z)=f(z) \end{align*}\\$$

   注意这里不能用积分中值定理（微分中值定理在复变中不加条件不成立）。证明了 $F(z)$ 在 $D$ 内可导，而且导数恰好是 $f(z)$，又因为 $f(z)$ 解析所以 $f(z)$ 连续，所以 $F(z)$ 一阶导连续，由解析的判定定理可知 $F(z)$ 解析

3. 原函数和不定积分： $\Phi(z),f(z)$ 是区域 $D$ 内确定的函数，其中 $\Phi(z)$ 是解析函数。如果满足

   $$\Phi^\prime(z)=f(z)$$

   则称 $\Phi(z)$ 是 $f(z)$ 的一个原函数， $f(z)$ 所有的原函数构成它的不定积分，记作 $\int f(z)dz$ ，满足

   $$\int f(z)dz=\Phi(z)+C,C\text{为任意常数}$$

4. 牛顿莱布尼兹公式: 设 $f(z)$ 是单连通区域 $D$ 上的解析函数， $\Phi(z)$ 是 $f(z)$ 的一个原函数，则

   $$\forall z_0,z_1\in D,\int_{z_0}^{z_1}f(z)dz=\Phi(z_1)-\Phi(z_0)$$

• 初等函数都是定义域内处处解析的，因此都有原函数
• 凑微分，分部积分在复变函数领域依然适用

推论8：morera定理#

TIP

morera定理可以看做柯西古萨定理的逆定理，即由闭路积分为零可以推出来解析

morera定理：设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内连续，$C$ 为 $D$ 内任意一条简单封闭曲线，如果 $\oint_Cf(z)dz=0$,那么函数 $f(z)$ 解析。

证明：可积说明存在原函数， $F^\prime(z)=f(z)$ ,并且原函数是解析函数，由解析函数可以无限阶求导以及求导之后解析性不变可以得到 $f(z)$ 是解析函数

刘维尔定理#

刘维尔定理：有界的整函数必为常值函数

证明

$$\forall z\in\mathbb{C},|f(z)|\leq M\\ \text{用柯西不等式的一阶导形式}\\ |f^\prime(z)|\leq\frac{M}{\rho}\\ \lim_{\rho\to\infin}|f^\prime(z)|\leq0\\ \therefore f^\prime(z)=0,f(z)=C$$