biscuitの博客

常见变换对#

关于 $\Gamma$ 函数的定义：

记住递推：

记住特值：

s大时，用斯特林公式：

拉普拉斯变换的性质#

1. 线性性质：

   $$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a \mathcal{L}\{f(t)\} + b \mathcal{L}\{g(t)\}$$

2. 微分性质：

   常用于解微分方程：（注意后面变成 $f^{(n)}(0)$ 不是 $F$）

   $$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$$

   用于计算有 $t$ 的幂的情况：

   $$\mathcal{L}\{t^n f(t)\} = (-1)^n F^{(n)}(s)$$

3. 积分性质：

   $$\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) \, d\tau\right\} = \dfrac{F(s)}{s}$$

   和

   $$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\} = \int_{s}^{\infty} F(u) \, du$$

   还有积分恒等式：

   $$\int_{0}^{\infty} \frac{f(t)}{t} \, dt = \int_{0}^{+ \infty} F(s) \, ds$$

4. 位移性质：(动s)

   WARNING

   注意正负号！！！

   TIP

   相当于把变换核 $e^{-st}$ 变成 $e^{-s t} e^{a t} = e^{-(s - a) t}$，所以有

   $$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$$

   用来处理 $e^{at}$ 和 $f(t)$ 的乘积，算的时候一般是先算 $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ ，再把 $s$ 换成 $s-a$。

   • 这里 $f(t)=1$ 时，得到 $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \dfrac{1}{s-a}$

5. 延迟性质：（动t）

   $$\mathcal{L}\{f(t-a)\} = e^{-as} F(s), \quad t-a>0$$

   有时候写成

   $$\mathcal{L}\{u(t-a) f(t-a)\} = e^{-as} F(s)$$

   其中，$u(t-a)$ 是单位阶跃函数。相当于限制 $t<a$ 时函数为0。

6. 相似性质：

   $$\mathcal{L}\{f(at)\} = \dfrac{1}{a} F\left(\dfrac{s}{a}\right)$$

终值定理（记一下）#

1. 如果 $f(t)$ 在 $[0, \infty)$ 上有界且 $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$，则

   $$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s F(s)$$

2. 如果 $f(t)$ 在 $[0, \infty)$ 上单调递增且 $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$，则

   $$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s F(s)$$

拉普拉斯卷积#

定义：

TIP

正常卷积：$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau$ 因为拉普拉斯变换定义域是 $[0, \infty)$，

$$(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{0}\underbrace{f(\tau)}_{0} g(t - \tau) \, d\tau + \int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau) \, d\tau + \int_{t}^{+\infty} f(\tau) \underbrace{g(t - \tau)}_{0} \, d\tau$$

所以卷积积分上下限变成了 $0$ 和 $t$。

拉普拉斯变换+微积分方程#

拉普拉斯变换可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。

利用的是微分性质：

和积分性质：

步骤：

两边同时取拉普拉斯变换，利用线性性质，积分/微分性质，将微积分方程转化为关于 $F(s)$ 的代数方程。

一般题目会给出初始条件 $f(0), f'(0), \ldots$，这样就能直接代入。

解出 $F(s)$ 后，再通过反变换 $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$ 得到 $f(t)$。