biscuitの博客

极限的定义#

类比实变函数的极限定义复变函数的极限：设函数 $\omega=f(z)$ 在点 $z_0$ 的去心邻域 $0<|z-z_0|<\rho$ 内有定义。 $\exist A$，对 $\forall\epsilon>0$，相应存在正数 $\delta=\delta(\epsilon)，（0<\delta<\rho）$，使得当 $0<|z-z_0|<\delta$ 时有 $|f(z)-A|<\epsilon$，称 $A$ 为 $f(z)$ 当 $z$ 趋向于 $z_0$ 时的极限，记作：

等价的形式化定义如下：

• 这个定义不依赖于复数的表示形式。

对于直角坐标系形式的复数：

其含义是：

对于极坐标形式的复数

其含义是：

并且要求极限值 与角度 $\theta$ 无关。

• 与实变函数不同的是，复平面内 $z\to z_0$ 可以从无穷多方向趋近，因此极限必须与路径无关，否则极限不存在。

• 和实变函数一样，极限研究的是某一点附近（去心邻域）的变化情况，和该点取值无关。研究该点取值的是函数的连续性

极限相关定理#

1. 唯一性：极限若存在则唯一
2. 实部虚部判定存在性：极限存在的充要条件：$z_0=x+iy，A=a+ib，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 则 $$\lim_{z\to z_0}{f(z)}=A\iff \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}u(x,y)=a,\;\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}v(x,y)=b$$ 复变函数的极限由两个实变函数的极限确定，反之亦然。
3. 复变函数极限的四则运算：与实变函数完全相同

例题：

设 $f(z) = \frac{z}{\bar z}$，讨论 $\lim_{z \to 0} f(z)$。

取 $z = x + iy$，则

$$f(z) = \frac{x+iy}{x-iy}$$

• 当沿实轴趋近时：$y=0$，得

$$f(x) = \frac{x}{x} = 1 \quad (x \to 0)$$

• 当沿虚轴趋近时：$x=0$，得

$$f(iy) = \frac{iy}{-iy} = -1 \quad (y \to 0)$$

两条路径极限不一致，故极限 不存在。
or:取$z=0+re^{i\theta}$

$$f(z)=\frac{re^{i\theta}}{re^{-i\theta}}\\[5bp] =e^{2i\theta}$$

取值与$\theta$有关，极限不存在。

连续定义#

某点处连续：如果 $\lim_{z\to z_0}{f(z)}=A=f(z_0)$，那么 $f(z)$ 在 $z_0$ 点连续

推广： 若 $f(z)$ 在集合 $E$ 的每一点都连续，则称 $f(z)$ 在 $E$ 上连续。 特殊地，当 $E$ 为一条曲线、一个区域或整个复平面时，可分别称为“在曲线上连续”“在区域上连续”“整函数”等。

沿曲线C连续如果 $\forall z_0\lim_{z\overset{by\,C}{\to} z_0}{f(z)}=A=f(z_0),z_0\in C$，那么 $f(z)$ 在沿曲线 $C$ 连续。

• 如果 $f(z)$ 在曲线 $C$ 上每一点都连续，则称 $f(z)$ 在曲线 $C$ 上连续，反之不一定

• 沿曲线C连续不代表曲线C上处处连续，沿曲线C连续只是说C上的点沿C的方向是连续的，而曲线C上处处连续要考虑曲线外的方向

连续型相关定理#

1. 连续性判定： $z_0=x_0+iy_0,f(z)=u(x,y)+iv(x,y),f(z)$ 在 $z_0$ 点连续的充分必要条件是 $u(x,y),v(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 均连续

2. 四则运算保持连续性：如果 $f(z)$ 和 $g(z)$ 在 $z_0$ 点均连续，那么

   1. $f(z)\pm g(z)$
   2. $f(z)\cdot g(z)$
   3. $\frac{f(z)}{g(z)}(g(z)\neq0)$
      均在 $z_0$ 点均连续
   • 上述定理可以判定复多项式和分式函数的连续性

3. 复合保持连续性：$h=g(z)$ 在 $z_0$ 处连续，$\omega=f(h)$ 在 $h=h_0=g(z_0)$ 时连续，那么复合函数 $\omega=f(g(z))$ 在 $z_0$ 处连续

   • 本质上是实部虚部二元函数复合后保持连续性

4. 模有界性：若 $f(z)$ 在有界闭区域 $D$ 内连续，则 $|f(z)|$ 在 $D$ 内必有界，且能取到最大值和最小值。

• 这个本质上是两个连续实函数的有界性导致的

例题 $f(z)=\frac{\bar{z}}{z}$ 在z=0处不连续

solution

$$f(z)=\frac{\bar{z}}{z}=\frac{x-iy}{x+iy}\\$$

• $y=0,x\to 0$

$$lim_{z\to0}f(z)=\frac{x}{x}=1$$

• $x=0,y\to 0$

$$lim_{z\to0}f(z)=\frac{-iy}{iy}=-1$$

沿不同曲线趋近 0 得到不同值。

eg2 复数的辐角函数 $\arg z$ 在原点以及复实轴上不连续

solution

$$\lim_{z\to 0}\arg z \,doesn't \;exist\\ y=0,x<0,\forall x_0<0\\ \lim_{(x,y)\to(x_0,0)}\arg z=\lim_{x\to x_0,y\yo 0}\arg z\\ if \lim_{x\to x_0,y\yo 0^+}\arg z=\pi\\ if \lim_{x\to x_0,y\yo 0^-}\arg z=-\pi\\ obviously,not\, continuous$$