biscuitの博客

辐角主值#

定义为复数的幅角取值范围为 $(-\pi, \pi]$ 的主值。

常常配合 $arctan$ 函数的性质使用：

CR定理#

速记：先写雅各比矩阵，再主对角相等副对角相反

速用1：在uv一阶偏导连续的情况下，点满足 $\iff$ 可导；区域满足 $\iff$ 全纯（解析）

速用2：结合调和函数，若u调和，则存在v使得f=u+iv全纯。求f有两种方法，一种是由u偏导结合CR方程来求v,另一种是直接用CR方程写f’并积分。如果有初值记得代

解析函数#

常见的解析函数有有理，三角（本质上是指数），对数，指数等。解析函数的导积商复合仍是解析函数

解析函数的单连通解析域内闭路积分（Cauchy古撒定理）

柯西积分公式#

设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$\Gamma$ 是区域内包含点 $a$ 的正向简单闭曲线，则有柯西积分公式：

有些题目中，往往a被当作变量z来处理，从而得到 $f(z)$ 的表达式

高阶导数公式#

设 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$\Gamma$ 是区域内包含点 $a$ 的正向简单闭曲线，则 $f$ 的 $n$ 阶导数公式为：

留数#

在求m阶极点的留数时，常用公式：

其中极限意味着可以洛必达

其中 $(z-z_0)^m$ 作用：

1. 抵消极点的奇异性，使得括号内在 $z_0$ 处解析

2. 可以挪到分母上，结合lim把难算的部分变成高阶导数（结合零点阶数的定义）

eg $z_0$ 是 $g(z)$ 的二阶零点，则 $\lim\limits_{z\to z_0}\frac{g(z)}{(z-z_0)^2}=g^{\prime\prime}(z_0)$