biscuitの博客

复数列的极限#

复数列{ $z_n=a_n+ib_n$ }的极限：复数列收敛到某个复数 $z=a+bi$ ，记作

形式化定义为：

• 复数列极限存在则唯一
• 复数列的极限满足实数列极限的四则运算
• 复数列收敛判定定理：复数列收敛当且仅当它的实部和虚部分别收敛。$z_n=x_n+iy_n,\lim_{n\to\infin}z_n=a+bi\iff\lim_{n\to\infin}x_n=a,\lim_{n\to\infin}y_n=b$

复级数及其部分和，敛散性#

复级数： $\sum_{k=1}^{\infin}z_k=z_1+z_2+z_3+\ldots$

部分和：与实级数一样，复级数的关键在于部分和列 $S_n=\sum_{k=1}^{n}z_k$

复级数收敛与发散的定义：复级数 $\sum z_n$ 收敛 $\iff\lim_{n\to\infin}S_n=S$ 。也就是说，如果复级数的部分和{$S_n$}收敛到某复数S（部分和数列的极限存在），则称复级数收敛到S。否则发散

收敛的充要条件#

充要条件1（部分和）：复级数 $\sum_{k=1}^{\infin}z_k$ 收敛 $\iff S_n=\sum_{k=1}^{n}z_k$存在极限。

充要条件2（实虚部级数）：复级数 $\sum_{k=1}^{\infin}z_k$ 收敛 $\iff\sum_{k=1}^{\infin}x_k\,,\sum_{k=1}^{\infin}y_k$ 均收敛。

充要条件3（柯西收敛准则）：复级数 $\sum_{k=1}^{\infin}z_k$ 收敛 $\iff\forall \varepsilon>0,\;\exist N=N(\varepsilon),s.t.\;\forall n>N,\;\forall p\geq 1,|S_{n+p}-S_n|<\varepsilon\text{或}|z_{n+p}-z_n|<\varepsilon$，满足柯西收敛准则的数列称为柯西列。

• 由充要条件2可推出充要条件1：$S=S^\prime+iS^{\prime\prime}$，其中 $S^\prime$ ,$S^{\prime\prime}$ 分别为实部虚部级数的部分和极限。
• 充要条件3在复函数项级数中也成立

柯西收敛准则的证明

先证必要性：

$$\begin{align*} &\text{设}\sum_{k=1}^\infty z_k\text{收敛于}S\\ &\iff\forall\varepsilon>0,\;\exist N=N(\varepsilon),s.t.\;\forall n>N,|S_n-S|<\frac{\varepsilon}{2}\dotsb(1)\\ &\forall p\geq 1\\ &|S_{n+p}-S|<\frac{\varepsilon}{2}\dotsb(2)\\ &\therefore|S_{n+p}-S_n|\\ &=|S_{n+p}-S+S-S_n|\\ &<|S_{n+p}-S|+|S-S_n|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{align*}$$

再证充分性：

设数列 $\{a_n\}$ 是一个柯西列，即：

$$\forall \varepsilon > 0,\; \exists N,\; \text{使得当 } m,n > N \text{ 时，} |a_m - a_n| < \varepsilon\\ \therefore - \varepsilon < a_m - a_n < \varepsilon \Rightarrow a_n - \varepsilon < a_m < a_n + \varepsilon\\$$

由于 $n$ 是大于 $N$ 的任意正整数，是一个定值，所以对任意固定的 $n_0$，都有：

$$a_n - \varepsilon < a_{n_0} < a_n + \varepsilon$$

说明 $\{a_n\}$ 有上界和下界 ⇒ 是有界数列。

又因为 $\{a_n\}$ 是柯西列 ⇒ 有界 ⇒ 根据Bolzano-Weierstrass定理，它存在一个收敛子列。

设收敛子列为 $\{a_{n_k}\}$，其极限为 $a$，则：

$$\forall \varepsilon > 0,\; \exists N_1,\; \text{使得当 } k > N_1 \text{ 时，} |a_{n_k} - a| < \varepsilon/2\dotsb(1)$$

又因为原列是柯西列，存在 $N_2$，使得当 $m,n > N_2$ 时：

$$|a_m - a_n| < \varepsilon/2\dotsb(2)$$

令 $N = \max\{N_1, N_2\}$，当 $n > N$ 时，取 $m = n_k > N$，则有：

$$|a_n - a| = |a_n - a_m + a_m - a| \leq |a_n - a_m| + |a_m - a| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$$

因此：

$$\forall \varepsilon > 0,\; \exists N,\; \text{使得当 } n > N \text{ 时，} |a_n - a| < \varepsilon$$

即：

$$\lim_{n \to \infty} a_n = a$$

收敛的必要条件#

复级数 $\sum_{k=1}^{\infin}z_k$ 收敛 $\Rightarrow\lim_{n\to\infin}z_n=0$

WARNING

和实级数一样，只是必要条件，典型反例是调和级数 $\sum\frac{1}{n}$

绝对收敛与条件收敛#

复级数的绝对收敛就是取模然后判断敛散性，转化为实数级数。(和实数项级数差不多，但注意复数的条件收敛对项的排列顺序敏感)

绝对收敛：若复级数 $\sum_{n=1}^{\infin}z_n=\sum_{n=1}^{\infin}a_n+ib_n$ 满足 $\sum_{n=1}^{\infin}|z_n|$ 收敛，则称该级数绝对收敛，并且有

证明

利用柯西收敛准则

$$\begin{align*} &\text{令}\tilde{S}=\sum_{n=1}^\infty|z_n|\,,\sum_{n=1}^\infty|z_n|\text{收敛}\\ &\iff\forall\varepsilon>0,\exist N,\;s.t.\;n,m>N,\;|\tilde{S_m}-\tilde{S_n}|<\varepsilon\\ &\iff\sum_{k=n}^m|z_k|<\varepsilon\dotsb(1)\\ &\text{令}S＝\sum_{n=1}^\infty z_n\,,\sum_{n=1}^\infty z_n\text{收敛}\\ &\iff\forall\varepsilon>0,\exist N \,,s.t.\;\forall n,m>N,\;|S_m-S_n|<\varepsilon\\ &\iff|\sum_{k=n}^m z_k|<\varepsilon\dotsb(2)\\ &\text{根据复数模长的三角不等式：}(2)\leq(1)\\ \therefore&\sum_{n=1}^\infty|z_n|\text{收敛}\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty z_n\text{收敛} \end{align*}$$

敛散性判别法#

WARNING

除了柯西收敛准则是充分必要条件，其他判别法都是充分条件

复级数的敛散性判别法和实级数差不多，但此时是通过取模 $|z_n|$ 转化成实级数来研究。

1. 比较判别法（充分条件）

   若 $|z_n|<a_n$ ,而 $\sum a_n$ 收敛，则 $z_n$ 绝对收敛。

2. 比值判别法（充分条件）

   若 $\lim_{n\to\infin}\frac{|z_{n+1}|}{|z_n|}$ 存在，记为$L$，则

   $$\lim_{n\to\infin}\frac{|z_{n+1}|}{|z_n|}=\begin{cases} L<1\;, z_n\text{绝对收敛}\\ L>1\;,z_n\text{发散}\\ L=1\;\text{无法判别} \end{cases}$$

3. 根植判别法（充分条件）

   若 $\lim_{n\to\infin}\sqrt[n]{|z_n|}$ 存在，记为$L$，则

   $$\lim_{n\to\infin}\sqrt[n]{|z_n|}=\begin{cases} L<1\;, z_n\text{绝对收敛}\\ L>1\;,z_n\text{发散}\\ L=1\;\text{无法判别} \end{cases}$$

4. Dirichlet 判别法 （充分条件）

   设有级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n,$ ，若满足以下条件：

   $$\begin{align*} &1. \{a_n\}\text{单调趋于0}；\\ &2. \{B_n\} = \left\{\sum_{k=1}^n b_k\right\} \text{有界} \end{align*}$$

   则 $\sum a_n b_n$ 收敛。

   例子

   $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} e^{in\theta}, \quad \theta \not= 2k\pi.$

   • $a_n = 1/n$，单调趋于 $0$；
   • $b_n = e^{in\theta}$，它的部分和 $\sum_{k=1}^n e^{ik\theta}$ 是几何级数，和有界；

   所以根据 Dirichlet 判别法，该级数收敛（条件收敛）。

5. Abel 判别法（充分条件）

   设有级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n,$ ，若满足：

   $$\begin{align*} &1. \sum a_n \text{收敛}\\ &2. \{b_n\} \text{单调有界}\\ \end{align*}$$

   则 $\sum a_n b_n$ 收敛。

6. 柯西收敛准则（充要条件）

   设有级数 $\sum_{n=1}^\infty z_n,$ ，若满足：

   $$\begin{align*} &\forall \varepsilon>0,\;\exist N=N(\varepsilon),s.t.\\ &\forall n>N,\;\forall p\geq 1,\\ &|S_{n+p}(z)-S_n(z)|<\varepsilon\;\text{或}\;|z_{n+p}-z_n|<\varepsilon \end{align*}$$

   则 $\sum z_n$ 收敛。并称之为柯西列。

TIP

• Dirichlet 判别法：要求 $a_n \to 0$ 且单调，$\sum b_n$ 的部分和有界。
• Abel 判别法：要求 $\sum a_n$ 收敛，$\{b_n\}$ 单调有界。
  • 它们常用于处理三角函数形式的复数级数，例如傅里叶级数、$\sum \frac{1}{n} e^{in\theta}$。
• 柯西收敛准则：核心在于寻找柯西列，柯西列可以选择部分和列，也可以选择原级数列，取决于具体问题。在复函数项级数中同样适用。

WARNING

柯西判别法和柯西收敛准则不是一个东西。

复函数项级数的定义#

设 $\{f_n(z)\}$ 是定义在某区域 $\mathbb{D}$ 上的一列复函数，则称 $\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$ 为复函数项级数。

级数的部分和：$S_n(z)=\sum_{k=1}^n f_k(z)$

级数的和函数：若 $\forall z\in\mathbb{D},\lim_{n\to\infin}S_n(z)=S(z)$ 存在，则称 $S(z)$ 为级数的和函数，记作 $S(z)=\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$ ，称为级数 $\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$ 收敛于 $S(z)$ 。

复函数项级数的敛散性#

单点收敛 ：如果对于 $\mathbb{D}$ 中的某一点 $z_0$ ,部分和 $\lim_{n\to\infty}S_n(z_0)=S(z_0)$ 极限存在，则称级数在 $\mathbb{D}$ 上 单点收敛 ，也就是在点 $z_0$ 处收敛。

逐点收敛 ：如果对于 $\mathbb{D}$ 中的每一点 $z$ ,部分和 $\lim_{n\to\infty}S_n(z)=S(z)$ 极限均存在，则称级数在 $\mathbb{D}$ 上逐点收敛 。

上述逐点收敛的形式化定义如下：

• 这里的 $N$ 依赖于 $\varepsilon$ 和 $z$ 。

一致收敛#

复函数项级数的一致收敛：设有复函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$ ,其前 $n$ 项和记作 $S_n(z)$ ，如果存在一个复函数 $S(z)$ 满足：

则称级数 $S_n(z)$ 在区域 $\mathbb{D}$ 上一致收敛于 $S(z)$

• 这里的 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$ ，与 $z$ 无关。这是一致收敛与逐点收敛的区别。

一致收敛的判定#

1. 柯西一致收敛准则：函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$ 在区域 $\mathbb{D}$ 上一致收敛的充分必要条件是 $\forall \varepsilon>0,\;\exist N=N(\varepsilon),s.t.\;\forall n>N,\;\forall p\geq 1,\;\forall z\in\mathbb{D}$

   $$|S_{n+p}(z)-S_n(z)|=\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} f_k(z) \right| < \varepsilon$$

   证明

   充分性：设 $S_n(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 上一致收敛于 $S(z)$ ,则

   $$\begin{align*} &\forall \varepsilon>0,\;\exist N=N(\varepsilon),s.t.\;\forall n>N,\;\forall z\in\mathbb{D}\\ &|S_n(z)-S(z)|<\frac{\varepsilon}{2}\dotsb(1)\\ &\forall p\geq 1\\ &|S_{n+p}(z)-S(z)|<\frac{\varepsilon}{2}\dotsb(2)\\ &|S_{n+p}(z)-S_n(z)| \\ &=|S_{n+p}(z)-S(z)+S(z)-S_n(z)|\\ &=|(2)-(1)|\\ &\text{根据三角不等式：}\\ &\leq|S_{n+p}(z)-S(z)|+|S_n(z)-S(z)|<\varepsilon \end{align*}$$

   必要性：由定理假设：

   $$|S_{n+p}(z)-S_n(z)|=\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} f_k(z) \right| < \varepsilon$$

   由柯西判别法，部分和函数 $S_n(z)=\sum_{k=1}^n f_k(z)$ 构成柯西列，故存在一个函数 $S(z)$ 使得 $S_n(z)=\sum_{k=1}^n f_k(z)$ 收敛于 $S(z)$

2. Weierstrass判别法：如果存在一系列实数 $M_n$ 使得 $\forall z\in\mathbb{D},|f_n(z)|\leq M_n$ ，且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum f_n(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 上一致收敛。

   证明

   由 $\sum M_n$ 收敛，$\sum M_n$ 满足柯西判定定理(这里取部分和形式)，

   $$\begin{align*} &\forall \varepsilon>0,\;\exist N=N(\varepsilon),s.t.\;\forall n>N,\;\forall p\geq 1\\ &|M_{n+1}+M_{n+2}+\dotsb+M_{n+p}|=|\sum_{k=n+1}^{n+p} M_k|<\varepsilon\\ &\text{又由 $|f_n(z)|\leq M_n$ ,所以}\\ &|\sum_{k=n+1}^{n+p} f_k(z)|\leq\sum_{k=n+1}^{n+p}|f_k(z)|\leq\sum_{k=n+1}^{n+p}M_k<\varepsilon\\[4pt] &\text{中间用了一步三角不等式} \end{align*}$$

   再由柯西一致收敛准则，$\sum f_n(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 上一致收敛。

• 柯西一致收敛准则其实是柯西收敛准则在复函数项级数上的推广，这里的柯西列取部分和列。
• Weierstrass判别法是比较判别法在复函数项级数上的推广，比较的对象是实数级数。可以理解为用一个收敛的实数级数去控制复函数项级数的每一项，从而保证复函数项级数的一致收敛。

一致收敛的性质#

1. 一致收敛与逐点收敛的关系：一致收敛 $\Rightarrow$ 逐点收敛，反之不成立
2. 一致收敛与连续性：如果 $\{f_n(z)\}$ 在 $\mathbb{D}$ 上连续，且 $\sum f_n(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 上一致收敛于 $S(z)$ ，则其和函数 $S_n(z)$（也是 $S(z)$ ） 在 $\mathbb{D}$ 上连续
3. 一致收敛与积分：如果 $\{f_n(z)\}$ 在 $\mathbb{D}$ 上连续，且 $\sum f_n(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 上一致收敛于 $S(z)$ ，则对 $\mathbb{D}$ 上的任意光滑曲线 $\gamma$ ，其和函数有 $$\int_\gamma S(z)\,dz=\sum_{n=1}^\infty \int_\gamma f_n(z)\,dz$$
4. 一致收敛与解析：如果 $\{f_n(z)\}$ 在 $\mathbb{D}$ 上解析，且 $\sum f_n(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 上一致收敛于 $S(z)$ ，则 $S(z)$ 在 $\mathbb{D}$ 上解析，且对 $\mathbb{D}$ 上的任意光滑曲线 $\gamma$ ，有 $$S^{(m)}(z)=\sum_{n=1}^\infty f_n^{(m)}(z),\quad m=1,2,3,\ldots$$

简而言之，一致收敛可以保证函数序列与和函数的连续性、可积性、可微性（解析性）

幂级数的收敛半径与敛散性#

abel定理：如果幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$ 在 $z_0 \neq 0$ 处收敛，那么对满足 $|z| < |z_0|$ 的一切 $z$ ，该级数绝对收敛；如果在 $z_0$ 处发散，那么对满足 $|z| > |z_0|$ 的一切 $z$ ，级数一定发散。

和实级数类似，阿贝尔定理也给出了收敛半径的概念，指出幂级数的收敛区域恰好是一个以 $z_0$ 展开中心为圆心的圆盘。幂级数的敛散性只与 $|z-z_0|$ 和圆盘半径$R$有关。圆盘上的点需要单独考虑。

收敛半径：幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$ 的收敛半径 $R$ 定义为收敛圆盘的半径。

证明

abel引理的证明：

$$\begin{align*} (1)&\text{设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$ 在}z_0\text{处收敛}\\ &\therefore\lim_{n\to\infty}a_nz_0^n=0\\ &\therefore\{a_nz_0^n\}\text{是有界的}\\ &\therefore\exist M>0,\text{s.t.}\forall n,|a_nz_0^n|<M\\ &\therefore|a_n|<\frac{M}{|z_0|^n}\\ &\text{又设$|z|<|z_0|$}\\ &\therefore\exist r,\;\text{s.t.}\;|z|<r<|z_0|\\ &\therefore|a_nz^n|=|a_n||z|^n<\frac{M}{|z_0|^n}r^n\cdot\left(\frac{|z|}{r}\right)^n<M\left(\frac{|z|}{r}\right)^n\\ &\text{由比值判别法，}\sum M\left(\frac{|z|}{r}\right)^n\text{收敛}\\ &\therefore\text{再由比较判别法，}\sum |a_nz^n|\text{收敛}\\ &\therefore\sum a_nz^n\text{绝对收敛}\\ (2)&\text{设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$ 在}z_0\text{处发散}\\ &\text{设$|z|>|z_0|$}\\ &\therefore\exist r,\;\text{s.t.}\;|z_0|<r<|z|\\ &\therefore|a_nz^n|=|a_n||z|^n>|a_n||z_0|^n\cdot\left(\frac{r}{|z_0|}\right)^n\\ &\text{由比值判别法，}\sum |a_n||z_0|^n\cdot\left(\frac{r}{|z_0|}\right)^n\text{发散}\\ &\therefore\sum |a_nz^n|\text{发散}\\ &\therefore\sum a_nz^n\text{发散} \end{align*}$$

收敛半径的求法#

收敛半径内,幂级数的和函数的分析学性质#

收敛圆内幂级数一致收敛：设和函数 $f(z)=\sum_{n=0}^{\infin}a_n(z-z_0)^n$ ,收敛半径是R，那么在收敛圆内（不包括圆周）$|z-z_0|<R$，幂级数是一致收敛的，可以逐项求导/积分、仍为幂级数，收敛半径不变。

证明

由Weierstrass判别法，$\forall z$ 满足 $|z-z_0|<R$ ,取 $r$ 使得 $|z-z_0|<r<R$ ,则

$$|a_n(z-z_0)^n|=|a_n||z-z_0|^n \leq|a_n|r^n\cdot\left(\frac{|z-z_0|}{r}\right)^n<|a_n|r^n$$

由此构造了一个实数级数 $\sum M_n=\sum |a_n|r^n$ ，这是实幂级数 $\sum M_n=\sum |a_n|x^n$ 中 $x=r$ 的情况。

由Cauchy–Hadamard 公式，$R^\prime=\frac{1}{\limsup_{n\to\infin}\sqrt[n]{|a_n|}}=R>r$ ,所以 $\sum M_n$ 收敛。

从而由Weierstrass判别法，幂级数在 $|z-z_0|<R$ 上一致收敛。

在收敛圆内可以无限求导，体现幂级数和函数的解析性。在复分析中，解析 与 局部可由幂级数表示是等价的。更具体地：

• 如果 $f$ 在一个开邻域内可表示为幂级数，则由一致收敛与逐项求导 $f$ 必为解析函数。

• 反过来，如果 $f$ 在开邻域解析，则对任意点 $z_0$，存在 $R>0$ 使得 $f$ 在 $|z-z_0|<R$ 等于其泰勒级数（由 Cauchy 积分公式的展开证明）。

TIP

这与实函数的情形不同——实函数可微并不一定能展开为幂级数（analytic 与 smooth 在实分析中并不等价），但在复分析中 holomorphic ⇒ analytic（解析）