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Biscuit
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雅各布矩阵&雅各布行列式
2025-09-13
线性代数
向量的微积分
/
雅各布矩阵

雅各比矩阵#

在向量微积分中，雅各比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅各比行列式。

雅各比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅各比矩阵类似于多元函数的导数。

设有一个从n维欧几里得空间到m维欧几里得空间的函数：

F:Rn→Rmx↦F(x)\begin{align*} \mathbf{F}:\mathbb{R}^n &\rightarrow \mathbb{R}^m \\ \mathbf{x} &\mapsto \mathbf{F}(\mathbf{x}) \end{align*}

其中 x=(x1,x2,...,xn)\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)，这个函数 F\mathbf{F} 由 mm 个实分量函数组成，即 F(x)=(f1(x),f2(x),...,fm(x))\mathbf{F}(\mathbf{x})=(f_1(\mathbf{x}),f_2(\mathbf{x}),...,f_m(\mathbf{x}))。

如果每个分量函数 fif_i 在点 a\mathbf{a} 处对每个变量 xjx_j 都可偏导，则称 F\mathbf{F} 在点 a\mathbf{a} 处可偏导。 雅可比矩阵J\mathbf{J}定义为：

J=[∂f1∂x1∂f1∂x2⋯∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2⋯∂f2∂xn⋮⋮⋱⋮∂fm∂x1∂fm∂x2⋯∂fm∂xn]\mathbf{J}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\[10bp] \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\[10bp] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[10bp] \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}

记作 JF(x1,x2,...,xn)\mathbf{J}_{\mathbf{F}}(x_1,x_2,...,x_n)。或者 ∂F∂x=∂(f1,f2,...,fm)∂(x1,x2,...,xn)\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial{\mathbf{(f_1,f_2,...,f_m)}}}{\partial(x_1,x_2,...,x_n)} 。

TIP

第二种记法生动形象的说明了雅各比矩阵的计算过程：分数线上面取一个fif_i分别对下面的xj,j=1,2,...,nx_j,j=1,2,...,n求偏导。得到的导数排成行，就得到了雅各比矩阵的第ii行。

雅各比矩阵的意义#

注

在一元函数分析里，函数 f:R→Rf:\R \to \R 的导数是

f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0) Δx.f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\\[10bp] f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x.

几何意义：在 x0x_0 处，函数最好的 线性近似 。也就是说，导数就是线性近似的系数。

在多维映射中。设 F:Rn→RmF:\R^n \to \R^m，在点 x0=(x01,x02,...,x0n)\mathbf{x}_0=(x_{01},x_{02},...,x_{0n}) 附近：

F(x0+Δx)≈F(x0)+JF(x0) Δx.F(\mathbf{x}_0 + \Delta \mathbf{x}) \approx F(\mathbf{x}_0) + J_F(\mathbf{x}_0)\, \Delta \mathbf{x}.

其中 JF(x0)J_F(\mathbf{x}_0) 就是 雅各比矩阵。

它的作用和一元函数的导数很像：

  • 在一元时，导数是“斜率”，把 Δx\Delta x 映射到近似的 Δf\Delta f。

  • 在多元时，雅各比矩阵是一个“线性变换”，把小扰动 Δx\Delta x 映射到近似的 ΔF\Delta F。

  • 一元函数：导数是数，表示伸缩因子。

  • 多维映射：导数必须告诉我们不同方向上怎么伸缩，所以变成了“矩阵”。（其实这一块应该是雅各比行列式的作用，数值这一块。）

换句话说：

  • 一元导数：Δy≈f′(x0)Δx\Delta y \approx f'(x_0)\Delta x
  • 多元导数：Δy≈JF(x0) Δx\Delta \mathbf{y} \approx J_F(\mathbf{x}_0)\, \Delta \mathbf{x}

矩阵就是多元情形下的“斜率”，因此可以看作导数的自然推广：

对于一维函数 f:R→R,x=x,F=ff:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\mathbf{x}=x,\mathbf{F}=f ，J=∂F∂x=∂f∂x\mathbf{J}=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial f}{\partial x} 就是导数。

对于二维函数 f:R2→R,x=(x,y),F=ff:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\mathbf{x}=(x,y),\mathbf{F}=f ， J=∂F∂x=∂f∂(x,y)=(∂f∂x,∂f∂y)T\mathbf{J}=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial f}{\partial (x,y)}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})^T 就是梯度。(这里应该是列向量，写成行向量的转置)

对于二维函数的线性组合： F:R2→R2,x=(x,y),F=(u,v)\mathbf{F}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\mathbf{x}=(x,y),\mathbf{F}=(u,v) ， J=∂F∂x=∂(u,v)∂(x,y)\mathbf{J}=\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} 就是二维函数线性组合的导数（雅各比矩阵）。

雅各比行列式#

想要取行列式，必须要求雅各比矩阵是方阵，即m=nm=n。此时，雅各比矩阵的行列式称为雅各比行列式:

det⁡(JF(x))=∣∂f1∂x1∂f1∂x2⋯∂f1∂xn∂f2∂x1∂f2∂x2⋯∂f2∂xn⋮⋮⋱⋮∂fn∂x1∂fn∂x2⋯∂fn∂xn∣\det(\mathbf{J_{\mathbf{F}}}(\mathbf{x}))=\begin{vmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\[10bp] \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\[10bp] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[10bp] \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{vmatrix}

也记作 ∣∂(f1,f2,...,fn)∂(x1,x2,...,xn)∣|\frac{\partial (f_1,f_2,...,f_n)}{\partial (x_1,x_2,...,x_n)}| 。

这个玩意有一个重要的几何意义：

  • 在二维中，∣J∣|\mathbf{J}|就是小矩形被映射成小平行四边形时的面积比。

  • 在三维中，∣J∣|\mathbf{J}|就是小立方体变成平行六面体时的体积比。

  • 符号决定了方向是否保持（正：方向保持；负：方向翻转），这点和一元函数的导数类似。

在复变函数中的应用#

在复变函数中，设有一个从复数域到复数域的函数：

f:C→Cz↦f(z)\begin{align*} f:\mathbb{C} &\rightarrow \mathbb{C} \\ z &\mapsto f(z) \end{align*}

其中 z=x+iyz=x+iy ，这个函数 ff 可以表示为两个实分量函数的组合，即 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 。

将复数域视为二维实数域，函数 ff 可以看作从 R2\mathbb{R}^2 到 R2\mathbb{R}^2 的映射：

F:R2→R2(x,y)↦(u,v)\begin{align*} F:\mathbb{R}^2 &\rightarrow \mathbb{R}^2 \\ (x,y) &\mapsto (u,v) \end{align*}

对于复变函数，如果 ff 在 z0=x0+iy0z_0 = x_0 + i y_0 可导，那么柯西–黎曼条件成立：

∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x.\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.

这时雅各比矩阵就变为

JF(x0,y0)=[a−bb    a],a=∂u∂x，b=∂v∂xJ_F(x_0,y_0) = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & \;\;a \end{bmatrix},\\[10bp] a = \frac{\partial u}{\partial x}，b = \frac{\partial v}{\partial x}

这里我们用 Δx=(Δx,Δy)T\Delta \mathbf{x} = (\Delta x, \Delta y)^T，定义 Δz=Δx+iΔy=(Δx,Δy)T\Delta z=\Delta x + i \Delta y=(\Delta x, \Delta y)^T。 而 JFJ_F 正好对应复数乘法 a+ib=f′(z0)a+ib = f'(z_0) 的作用。也就是说，

F(x0+Δx)≈F(x0)+JF(x0) ΔxF(\mathbf{x}_0 + \Delta \mathbf{x}) \approx F(\mathbf{x}_0) + J_F(\mathbf{x}_0)\, \Delta \mathbf{x}

在复变函数下等价于

[u(x+Δx,y+Δy)v(x+Δx,y+Δy)]≈[u(x,y)v(x,y)]+[a−bba][ΔxΔy]f(z0+Δz)≈f(z0)+f′(z0) Δz.\begin{bmatrix} u(x+\Delta x,y+\Delta y)\\ v(x+\Delta x,y+\Delta y) \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} u(x,y)\\ v(x,y) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a&-b\\ b& a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix}\\[10bp] f(z_0 + \Delta z) \approx f(z_0) + f'(z_0) \, \Delta z.

此时，雅各比行列式为：

det⁡(J)=a2+b2\det(\mathbf{J})=a^2+b^2

这个结果表明，复变函数在可微点处的雅各比行列式总是非负的，并且与复数导数的模平方相等。这反映了复变函数在可微点处的局部线性近似具有旋转和平移的性质。

雅各布矩阵&雅各布行列式
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作者
Biscuit
发布于
2025-09-13
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