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随机变量函数Y=g(X)的概率密度和分布函数#

• 核心思想：变量代换

如何通过 $X$ 的概率密度 $f_X(x)$ 和分布函数 $F_X(X)$ ，来获得 $Y=g(X)$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 和分布函数 $F_Y(y)$ 。

1. 通过 $Y=g(X)$ ，找到对应 $\{Y≤y\}$ 的 $x$ 区间 $I$。

2. 在区间 $I$ 上， $\int_I f(x)dx$ ，获得 $P(Y≤y)$ ，也就是 $F_Y(y)$

3. 求导 $F_Y(y)$，获得密度函数 $f_Y(y)$。

对于连续型随机变量，直接公式法：

若 $y=g(x)$ 是严格单调的且反函数 $h(y)$ 可导时, 则随机变量 $Y$ 仍为连续型随机变量, 且有概率密度函数

• 推论：正态变量的线性变换依然是正态变量，即 $Y=aX+b,X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则 $Y\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$

例如：

$X\sim E(2),Y=1-e^{-2X}$，求Y的分布