一维随机变量及其分布练习题

Biscuit

哈基米，你要大步大步地走下去啊，不行，要悠哒悠哒才能欣赏到沿途的风景。

公告

欢迎来到我的博客喵。

268 字

1 分钟

一维随机变量及其分布练习题

2025-10-09

随机变量

/

习题

eg1：机器在时间t内出故障的次数N(t)， $N(t)\sim P(\lambda t)$ ，求

（1）：相邻两次故障之间的时间间隔T的分布
（2）：已经无故障工作8小时的条件下，继续无故障工工作8小时的概率

(1)

\begin{aligned} F_T(t)&=P(T\leq t)=1-P(T\geq t)\\ &=1-P(N(t)=0)\\ &=1-\frac{(\lambda t)^0}{0!}\cdot e^{-\lambda t}\\ &=1-e^{-\lambda t}\;\;t>0\\ F_T(t)&=\begin{cases} 1-e^{-\lambda t}\;\;t>0\\ 0\;\;t\leq 0 \end{cases}\\ &T\sim E(\lambda)\text{服从指数分布} \end{aligned}

(2)：利用指数分布的无记忆性

P(T>16|T>8)=P(T>8)＝1-P(T\leq 8)=e{-8\lambda}

eg2： $|X|\leq 1,P(X=-1)=\frac{1}{8},P(X=1)=\frac{1}{4},P(a<X<b|-1<X<1)$ 与 $(b-a)$ 成正比， $(a,b)\in(-1,1)$ .求 $F_X(x)$

TIP
这个随机变量既有连续的部分(-1,1),也有离散的部分 $x=\pm 1$ ,
对于连续的部分，概率和区间长度成正比，说明在(-1,1)区间上服从均匀分布，取端点作为区间长度，算出来连续区间的概率密度k。注意这里需用条件概率，因为有随机变量的取值里面既有离散也有连续。

连续区间内的概率密度为

\begin{aligned} &P(-1<X<1| -1<X<1)=1=2k\iff k=\frac{1}{2}\\ &F_X(x)=P(X\leq x)\\ \end{aligned}

当 $x< -1$ 时 $F_X(x)=0$

当 $－1\leq x<1$ 时，-1处是离散点

\begin{aligned} &F_X(x) =P(X=-1)+P(-1<X\leq x)\\ &=\frac{1}{8}+P(-1<X\leq x|-1<x<1)\cdot P(-1<X<1)\\ &=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\cdot(x+1)\cdot\frac{5}{8}\\ &=\frac{5x+7}{16}\\ \end{aligned}

当 $x \geq 1$ 时 $F_X(x)=1$

一维随机变量及其分布练习题

作者

Biscuit

发布于

2025-10-09

许可协议

biscuitの博客