2维随机变量及其分布习题 - Biscuitの赛博小窝

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2维随机变量及其分布习题

2025-10-16

2维随机变量

eg1:设

f(x,y)=\begin{cases} e^{-x-y}&x>0,y>0\\ 0&\text{others} \end{cases}

判断独立性

\begin{alignedat}{2} f_X(x)&=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\\ &=\begin{cases} \int_0^{=+\infty}e^(-x-y)dy;&x>0\\ 0&x\leq 0\\ \end{cases}\\ &=\begin{cases} e^{-x}&x>0\\ 0&x\leq 0 \end{cases}\\ &\text{由对称性}\\ f_Y{y}=\begin{cases} e^{-y}&y>0\\ 0&y\leq 0\\ \end{cases}\\ ＆\text{经检验，独立} \end{alignedat}

eg2: 设X，Y在G上服从均匀分布， $G=\{(x,y)|x\in(0,4),y<\frac{1}{4}x\}$

S(G)=2,\text{联合概率密度：}f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{2}&\in G\\ 0&\notin G \end{cases}\\ f_X(x)=\begin{cases} \int_0^{\frac{x}{4}}\frac{1}{2}dy=\frac{x}{8} & x\in(0,4),0<y<\frac{x}{4}\\[8bp] 0 & \text{其他} \end{cases}\\[5bp] f_Y(y)=\begin{cases} \int_{4y}^4\frac{1}{2}dx=2-2y & 0\leq y\leq 1\\[8bp] 0 & \text{其他} \end{cases}\\[5bp] \text{显然，不独立}

TIP
联合支撑集的区间不是矩形，必然不独立
如果独立，则联合概率密度(或分布函数)能够分解成含有x,y的因子的乘积

eg3: $(X,Y)~N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2 ,\sigma_2^2,\rho)$ 求证 $X,Y$ 相互独立 $\iff\rho=0$

当 $X,Y$ 相互独立时

f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\operatorname{exp}\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}\\

当 $\rho=0$

\begin{aligned} f(x,y)&=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\operatorname{exp}\left\{-\frac{1}{2}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}\\[8bp] &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}exp\left\{-\dfrac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right\} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}exp\left\{-\dfrac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\right\}\\[8bp] &=f_X(x)\cdot f_Y(y) \end{aligned}

必要性取最大值点带特值证明即可

2维随机变量及其分布习题

作者

Biscuit

发布于

2025-10-16

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