Z=g(X,Y) ，其中 (X,Y) 是二维随机变量，Z 是一维随机变量，求 Z 的分布。
回归定义，求分布函数：
FZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)=g(x,y)≤z∬f(x,y)dxdy
难点：找积分区域和求积分。
离散型随机变量函数的分布#
设离散型随机变量 (X,Y) 的分布列为 P(X=xi,Y=yj)=pij,Z=g(X,Y) 是一维离散型随机变量，用 zk=g(xi,yj) 表示 Z 的取值，则Z的分布列：
P(Z=zk)=g(X,Y)=zk∑P(X=xi,Y=yj)=g(xi,yj)=zk∑P(X=xi)⋅P(Y=yj)XY独立eg:(X,Y) 分布列
| X\Y | 0 | 1 | 2 |
|---|
| -1 | 0.1 | 0.15 | 0.2 |
| 1 | 0.15 | 0.1 | 0.3 |
Z=2X+YZ=−2,−1,0,2,3,4
| Z | -2 | -1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
|---|
| P | 0.1 | 0.12 | 0.2 | 0.15 | 0.1 | 0.3 |
同分布独立的可加性#
再生性：同类型的随机变量，在独立的情况下，其联合分布依然是该类型，并且参数为各自参数之和
以泊松分布为例：
X∼P(λ1),Y∼P(λ2),Z=X+Y
P(X=i)ZP(Z=k)=i!λ1ie−λ1,P(Y=j)=j!λ2je−λ2=0,1,2,3...=P(X+Y=k)=P(i=0∪(X=i,Y=k−i))=i=0∑kP(X=i,Y=k−i)=i=0∑kP(X=i)P(Y=k−i)=i!λ1ie−λ1⋅(k−i)!λ2k−ie−λ2=k!(λ1+λ2)ke−(λ1+λ2)∼P(λ1+λ2)
连续型随机变量函数的分布#
特例：Z=X+Y#
FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=x+y≤z∬f(x,y)dxdy=∫−∞+∞∫−∞z−xf(x,y)dydx换元，令 y=u−x，
FZ(z)=∫−∞+∞∫−∞zf(x,u−x)dudx交换积分次序
FZ(z)=∫−∞z=fU(u)∫−∞+∞f(x,u−x)dxdufZ(z)=FZ′(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx就得到了 Z=X+Y 的概率密度函数。
fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx=∫−∞+∞f(z−y,y)dy卷积公式#
更特殊地，如过 X,Y 独立，则
fZ(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dx=∫−∞+∞fX(z−y)fY(y)dyWARNING无论是哪种形式，都需要实际考虑积分区间。
TIP对x积分则fX不变，x 保留支撑集，y=z−x 在 y 支撑集，反解出x的积分区间；
对y积分则fY不变，y 保留支撑集，x=z−y 在 x 支撑集 ，反解出y的积分区间。
一般情况#
FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=x+y≤z∬f(x,y)dxdy=∫−∞+∞∫−∞z−xf(x,y)dydx到这一步，老老实实分析积分区间做二重积分。
