变量的独立性+条件分布 - Biscuitの赛博小窝

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变量的独立性+条件分布

2025-10-27

独立性

独立性定义#

$(X,Y)$ 的联合分布函数 是 $F(x,y)$ ， 边缘分布函数（就是各自的分布函数）是 $F_X(x),F_Y(y)$ ，如果联合分布函数=边缘分布函数之积

\forall x,y\in \R,F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)

则称随机变量 $X$ ， $Y$ 相互独立。

离散型随机变量独立性： $(X,Y)$ 的的联合分布列为 $p_{ij}$ ，边缘分布列(就是各自的分布列)为 $p_{i\cdot },p_{\cdot j}$ ，如果联合分布列=边缘分布列之积

\forall i,j\in\R,p_{ij}=p_{i\cdot }\cdot p_{\cdot j}

则称随机变量 $X,Y$ 相互独立

连续型随机变量独立性： $X,Y$ 的联合概率密度是 $f(x,y)$ ，边缘概率密度函数(就是各自的概率密度)为 $f_X(x),f_Y(y)$ ，如果联合概率密度=边缘概率密度之积

\forall x,y\in\R,f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)

则称随机变量 $X,Y$ 相互独立

在 $Y=y_j$ 条件下，离散型随机变量 $X$ 的 条件分布列 就是联合除以条件边缘

P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}

在 $Y=y$ 的条件下，连续型随机变量 $X$ 的条件分布函数 定义为

F_{X|Y}(x|y)=P(X\leq x|Y=y)

随机变量 $X$ 在给定 $Y=y$ 的条件下的条件概率密度函数 也是联合除以条件边缘

f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}

把分母写成积分形式：

f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx}

这两个关系是：

F_{X|Y}(x|y)=\int_{-\infty}^x f_{X|Y}(t|y)dt

所以说此类型的题目还是考察联合概率密度和边缘概率密度的计算。

变量的独立性+条件分布

作者

Biscuit

发布于

2025-10-27

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