biscuitの博客

伯努利大数定律#

设随机变量序列 $\{X_n\}$ 独立同分布，且每个 $X_i$ 服从伯努利分布 $B(1,p)$，即 $P(X_i=1)=p, P(X_i=0)=1-p$。设成功的次数是 $Y_n$ ，则样本均值(成功率) $\dfrac{Y_n}{n}$ 依概率收敛于 $p$：

这是典型的频率收敛于概率的例子。

伯努利大数定律推导#

用切比雪夫不等式：

其中，$\mathbb{E}(X_i)=p, \mathbb{D}(X_i)=p(1-p), \mathbb{D}\left(\dfrac{Y_n}{n}\right) = \dfrac{p(1-p)}{n}$

切比雪夫大数定律#

设随机变量序列 $\{X_n\}$ 独立同分布，且每个 $X_i$ 的期望值 $\mathbb{E}(X_i)$ 和方差 $\mathbb{D}(X_i)$ 存在，且方差有上界。则样本均值 $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 依概率收敛于 期望的平均值：

记作

辛钦大数定律（切比雪夫的推广）#

对于切比雪夫大数定律的特例，$X_i$ 的期望相同。

当随机变量序列 $\{X_n\}$ 独立同分布，且每个 $X_i$ 的期望值 $\mathbb{E}(X_i)=\mu$ 和方差 $\mathbb{D}(X_i)=\sigma^2$ 存在时，样本均值 $\overline{X}_n = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 依概率收敛于 期望值 $\mu$：

记作

TIP

在题目里可以简单理解成算样本均值=期望