biscuitの博客

随机抽样#

随机抽样是指从总体中以随机方式抽取样本，使得每个个体被选中的概率相等。

其中，简单随机抽样是最基本的随机抽样方法。得到的样本叫简单随机样本。

简单随机抽样的必要条件：

• 每个个体被选中的概率相等

• 抽样过程中个体之间相互独立

• 个体和总体必须是同分布的

卡方分布：标准正太的平方和#

设 $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n$ 是 $n$ 个相互独立的且服从标准正态分布的随机变量，则随机变量 $Y = \sum_{i=1}^n Z_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，记作 $Y \sim \chi^2(n)$。

不需要掌握分布函数和概率密度函数的具体形式。

• 卡方分布的期望就是自由度：$E(Y) = n$

• 卡方分布的方差是自由度的两倍：$D(Y) = 2n$

• 卡方分布的图像是偏态的，峰值靠左；随着自由度的增加，图像逐渐趋近于正态分布。

卡方分布具有可加性：

若 $Y_1 \sim \chi^2(n_1)$ 且 $Y_2 \sim \chi^2(n_2)$，且 $Y_1$ 与 $Y_2$ 相互独立，则 $Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(n_1 + n_2)$。

t分布#

设 $Z$ 是一个服从标准正态分布的随机变量，$Y$ 是一个服从自由度为 $n$ 的卡方分布的随机变量，且 $Z$ 与 $Y$ 相互独立，则随机变量

服从自由度为 $n$ 的 t 分布。

t 分布的期望：$\mathbb{E}(T) = 0$，方差: $\mathbb{D}(T) = \dfrac{n}{n-2}$（$n>2$）。

F分布#

设 $X$ 和 $Y$ 分别是自由度为 $m$ 和 $n$ 的两个卡方分布的随机变量，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则随机变量:

服从自由度为 $(m,n)$ 的 F 分布。

其中，在前面的 $m$ 称为分子自由度，在后面的 $n$ 称为分母自由度。

对F取倒数，依然是F分布：

TIP

考试的时候牢记定义，凑公式判断分布种类。

正态总体下样本均值的分布#

对于正态样本$X_i\sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值 $\overline{X} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ 服从正态分布：

TIP

正态分布的线性组合依然是正态分布，所以样本均值的分布是正态分布。

均值的推导：

$$\mathbb{E}(\overline{X}) = \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbb{E}(X_i) = \mu$$

方差的推导（方差的独立可加性）：

$$\mathbb{D}(\overline{X}) = \mathbb{D}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \mathbb{D}(X_i) = \frac{\sigma^2}{n}$$

注意，无论总体是什么分布，总有：

两个结论的推导只依赖于期望和方差的线性性质，和总体的分布无关。如果总体不是正态分布，但样本容量足够大，根据中心极限定理，样本均值 $\overline{X}$ 近似服从正态分布。

对样本均值进行标准化，可以构造出标准正态分布变量 $Z$：

正态总体下样本方差的分布#

这个目前没法证，只能记结论：

对于正态样本 $X_i \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本方差 $S^2 = \dfrac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$ 服从卡方分布：

正态总体下样本标准差的分布#

结合样本均值和样本方差，可以构造出 t 分布：