biscuitの博客

几何概型的典型例题#

1. 见面问题 甲乙两人约定在 $0$ 到 $T$ 时进行见面，先到的等待 $t$ 事件( $t\leq T$ )，问甲乙两个人能见面的概率

   solution

   甲到达的时刻为 $X$ ,乙到达的时刻为 $Y$ ，则样本空间 $S$ 是一个大小为 $T^2$ 的正方形。

   两人若能见面则满足 $|X-Y|=\leq t$，几何意义就是直线 $Y=X$ 两侧宽度为t内的区域面积。

   $$S(A)=T^2-(T-t)^2\\ P(A)=\frac{T^2-(T-t)^2}{T^2}$$

   ：：：

2. 投针问题

   线之间的宽度为d,针的长度为l，随机投针，求针与线相交的概率

   solution

   针落在平面上时，有两个随机变量决定与线是否相交：

   • 针中心点距离线的距离：记作 $x$,取值范围是 $[0,d/2]$ ,这里考虑对称性，只用最近的那一条线。
   • 针与平行线的夹角：记作 $\theta$ ,取值范围 $[0,\pi/2]$ ,同样是利用对称性，只考虑四分之一圆周

   显然，这两个随机变量满足在定义域上均匀分布

   针与线相交的条件：当且仅当针往中心点垂直于线的方向上投影的长度大于中心点到线的距离，即：

   $$\frac{l}{2}\cdot\sin\theta\geq x$$

   想象一下，样本空间 $S$ 的几何区域是一个横轴是 $\theta\in[0,\pi/2]$ ,纵轴为 $x\in[0,l/2]$ 的矩形，而事件 $A$ 的几何区域是一个压扁的正弦函数下方的区域。用积分求面积

   $$S(A)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{l}{2}\sin\theta \,d\theta=\frac{l}{2}\\ S=\frac{l}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}\\ P(A)=\frac{s(A)}{S}=\frac{2l}{\pi d}$$

概率乘法公式#

1. 若 $P(B)>0$ ,则 $P(A|B)P(B)=P(AB)$
2. 推广到n-1个事件： $A_1,A_2,A_3,\ldotp A_{n-1},$ 则 $$P(A_1A_2A_3\ldotp A_{n-1})=P(A_1)P(A_1|A_2)P(A_3|A_1A_2)\cdotp P(A_n|A_1A_2A_3\cdotp A_{n-1})$$

全概率公式#

对于一组事件 $A_1,A_2,A_3,\ldotp A_n$,如果这些事件两两互斥，并且 $P(A_i)>0$ ,对于事 $B$ ，如果 $B$ 满足：$B\sub A_1+A_2+A_3+\ldotp +A_n$,则

直观意义：分情况讨论，把 $B$ 分成 $n$ 个互斥的小事 $A_iB$ 的概率之和。 全概率也可以视作加权。

贝叶斯公式#

从一个现实案例出发：一个工厂车间三个工人的产量和次品率的表格如下：

记事件A为选到的零件为次品，$A_i$ 表示这个零件由工人i生产，那么 $P(A_1|A)$ 就表示在抽查到次品的情况下，该次品由i号工人生产的概率

设有一组事件 $A_1,A_2,A_3,\ldotp A_n$ ，如果这一组事件两两互斥，且 $P(A_i)>0,i=0,1,2...n$ ,对于事件 $B$ ,如果 $P(B)>0$ ,若 $B\sub A_1,A_2,A_3,\ldotp A_n$ 则

其中

• $P(A_i)$称为先验概率
• $P(A_i|B)$ 称为后验概率

贝叶斯公式是已知先验概率求得后验概率的过程。