biscuitの博客

一维随机变量的方差定义#

设 $X$ 是一个随机变量，若 $E[(X-E(X))]^2$ 存在，则称 $E[(X-E(X))]^2$ 为随机变量 $X$ 的方差，记作 $D(X)$

称 $\sqrt{D}$ 为 $X$ 的标准差或者均差，记作 $\sigma$

从另一个角度理解，方差就是随机变量函数 $g(X)=[(X-E(X))]^2$ 的均值

一维随机变量方差的计算#

离散型随机变量的方差：

连续型随机变量的方差

常用公式：$D(X)=E(X^2)-E^2(X)$

重要推论： $E(X^2)=D(X)+E^2(X)$

推导

$$\begin{align*} D(X)&=E[(X-E(X))]^2\\ &=E[X^2-2XE(X)+E^2(X)]\\ &=E[X^2-2E^2(X)+E^2(X)] \end{align*}$$

方差的性质#

1. 非负性
   $\mathrm{Var}(X) \geq 0$，且仅当 $X$ 为常数时 $\mathrm{Var}(X)=0$。

2. 平移不变性
   $\mathrm{Var}(X+c) = \mathrm{Var}(X)$。

3. 比例缩放
   $\mathrm{Var}(aX) = a^2 \mathrm{Var}(X)$。

4. 和的方差(注意正负号)

   • 若 $X,Y$ 独立： $$\mathrm{Var}(X\pm Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$$
   • 若不独立： $$\mathrm{Var}(X\pm Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) \pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)$$