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Biscuit
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坐标变换这一块
2025-10-17
RM
机械臂
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反向运动学
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RM

旋转轴+角表示这一块#

在三维空间中，任意旋转都可以表示为绕某一固定轴旋转一定角度。 这种表示方法称为旋转轴-角表示。对应的数学工具是罗德里格斯公式（Rodrigues’ rotation formula）。

R=I+sin⁡(θ)K+(1−cos⁡(θ))K2R = I + \sin(\theta)K + (1 - \cos(\theta))K^2

先规定符号：

我觉得把source和target都放在上下标里不太好理解，不如直接回归定义：左上标表示参考系，右下标表示被表示的对象

  • P点在A基底下的表示：AP{^A}P

  • 绕固定轴的旋转矩阵：Raxis(θ)R_{axis}(\theta)

  • A基底（向量）在B基底下的表示：BXA{^B}X_A

  • B基底下到A基底的旋转：BRA=(BXA,BYA,BZA){^B}R_A=({^B}X_A,{^B}Y_A,{^B}Z_A)

  • B基底下到A基底的平移（A系下B的原点）：BPAorg{^B}P_{Aorg}

  • B基底下A基底的齐次变换矩阵：BTA=[BRABPAorg01]{^B}T_A=\begin{bmatrix}{^B}R_A & {^B}P_{Aorg} \\0 & 1\end{bmatrix}

绕固定轴旋转：旋转因子#

旋转因子 Raxis(θ),  axis∈{x,y,z}R_{axis}(\theta),\;axis\in\{x,y,z\} 表示绕axis轴正向旋转 θ\theta 角度的旋转矩阵。

TIP

正向：右手定则：大拇指指向旋转轴正方向，四指弯曲方向为正向旋转方向

旋转因子的形式：

RX(θ)=[1000cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ]RY(θ)=[cos⁡θ0sin⁡θ010−sin⁡θ0cos⁡θ]RZ(θ)=[cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001]R_X(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\\[1em] R_Y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}\\[1em] R_Z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\[1em]
TIP

看主对角线1的位置，从右往左依次是xyz；三角是 cssc\begin{matrix}c&s\\s&c\end{matrix} 形式，XZ轴-在右上角，Y轴-在左下角

旋转因子的左乘与右乘#

作用方式分为左乘和右乘：

Ap⃗rotated=RZ(θ)⋅Ap⃗originalA(rotated)p⃗=Ap⃗original⋅RZ(θ){^A}\vec{p}_{rotated} = R_Z(\theta) \cdot {^A}\vec{p}_{original}\\[1em] {^{{A(\mathbf{rotated})}}}\vec{p} = {^A}\vec{p}_{original} \cdot R_Z(\theta)

可见，左乘是坐标系不动，对向量进行旋转，得到原坐标系下旋转后的坐标；

右乘是对坐标系进行旋转，向量保持不变，得到向量在旋转后坐标系 ArotatedA_{rotated} 下的坐标。

旋转因子的连乘#

在左乘（参考的坐标系不变）的情况下，按照欧拉角旋转，xyz和yzx的结果有可能不一样。对于，从 axis1\mathbf{axis1} 旋转 θ1\theta_1，再从 axis2\mathbf{axis2} 旋转 θ2\theta_2，最后从 axis3\mathbf{axis3} 旋转 θ3\theta_3，总的旋转矩阵为：

R=Raxis3(θ3)⋅Raxis2(θ2)Raxis1(θ1)R⋅Ap⃗original=Raxis3(θ3)⋅Raxis2(θ2)Raxis1(θ1)⋅Ap⃗rotatedR = R_{\mathbf{axis3}}(\theta_3) \cdot R_{\mathbf{axis2}}(\theta_2) R_{\mathbf{axis1}}(\theta_1)\\[5pt] R\cdot {^A}\vec{p}_{original} = R_{\mathbf{axis3}}(\theta_3) \cdot R_{\mathbf{axis2}}(\theta_2) R_{\mathbf{axis1}}(\theta_1)\cdot{^A}\vec{p}_{rotated}

第一次转动写在乘积的最右边，依次往左。（可以理解为不断左乘进行变换）

在右乘（参考系变换）的情况下，按照欧拉角旋转，xyz和yzx的结果也是不一样的。对于，从 axis1\mathbf{axis1} 旋转 θ1\theta_1，再从 axis2\mathbf{axis2} 旋转 θ2\theta_2，最后从 axis3\mathbf{axis3} 旋转 θ3\theta_3，总的旋转矩阵为：

R=Raxis1(θ1)⋅Raxis2(θ2)Raxis3(θ3)Ap⃗original⋅R=Ap⃗original⋅Raxis1(θ1)⋅Raxis2(θ2)Raxis3(θ3)R = R_{\mathbf{axis1}}(\theta_1) \cdot R_{\mathbf{axis2}}(\theta_2) R_{\mathbf{axis3}}(\theta_3)\\[5pt] {^A}\vec{p}_{original}\cdot R = {^A}\vec{p}_{original}\cdot R_{\mathbf{axis1}}(\theta_1) \cdot R_{\mathbf{axis2}}(\theta_2) R_{\mathbf{axis3}}(\theta_3)

不断右乘进行变换。

旋转因子，置换矩阵和反转矩阵#

置换矩阵：简单讲就是对单位矩阵的重新排列，3*3的置换矩阵有6个：

P1=[100010001],P2=[010100001],P3=[001010100],P4=[100001010],P5=[010001100],P6=[001100010]P_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad P_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad P_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix},\\[1em] P_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix},\quad P_5 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad P_6 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

置换矩阵的作用方式和旋转因子类似，也分为左乘和右乘。

左乘行变换，右乘列变换。\textcolor{yellow}{左乘行变换，右乘列变换。}

由于旋转矩阵的列向量有特殊性，表示旋转后坐标系的基底方向，所以常用右乘。

反转矩阵：单位阵主对角线元素取负号，3*3的反转矩阵有7个：（去掉单位阵）

M1=[−100010001],M2=[1000−10001],M3=[10001000−1],M4=[−1000−10001],M5=[−10001000−1],M6=[1000−1000−1],M7=[−1000−1000−1]M_1 = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad M_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad M_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix},\\[1em] M_4 = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\quad M_5 = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix},\quad M_6 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix},\quad M_7 = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}

反转矩阵的作用方式和旋转因子类似，也分为左乘和右乘。

左乘行变换，右乘列变换。\textcolor{yellow}{左乘行变换，右乘列变换。}

左乘在坐标系不动的前提下，对向量进行反转；右乘在向量不动的前提下，对坐标系进行反转。

这两种作用方式的到的向量互为转置，虽然元素相同，但意义不同。

TIP

反转矩阵里面有两个负号的可以看作旋转矩阵转了180

旋转因子可以和置换矩阵、反转矩阵结合使用，完成更复杂的旋转操作。

正手：用三种矩阵组合完成任意旋转

反手：给定组合得到的矩阵，分解成旋转因子，置换矩阵，反转矩阵组合的形式

重点讲一下反手

设经过某种组合得到的矩阵 TT，旋转因子记作 RR，置换矩阵记作 PP，反转矩阵记作 MM，那么 TT 的分解方式和左乘右乘有关：

{T=M⋅P⋅RifT⋅AP⃗T=R⋅P⋅MifAP⃗⋅T\begin{cases} T = M \cdot P \cdot R \qquad if\quad T\cdot{^A}\vec{P}\\[1em] T = R \cdot P \cdot M \qquad if\quad {^A}\vec{P}\cdot T \end{cases}

例如：

T=[−cs0001sc0]T=\begin{bmatrix} -c & s & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ s & c & 0 \end{bmatrix}

如果 TT 是左乘作用于向量 AP⃗{^A}\vec{P}，那么：

T⋅AP⃗=[−100010001]⋅[100001010]⋅[c−s0sc0001]⋅AP⃗T\cdot{^A}\vec{P}=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\0&0&1\\0&1&0 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} c & -s & 0 \\ s & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot{^A}\vec{P}

表示向量 AP⃗{^A}\vec{P} 在坐标系不变的情况下，依次经历了旋转，置换，反转三个变换。

如果 MM 是右乘作用于向量 AP⃗{^A}\vec{P}，那么：

AP⃗⋅T=AP⃗⋅[c0s010−s0c]⋅[100001010]⋅[−100010001]{^A}\vec{P}\cdot T={^A}\vec{P}\cdot\begin{bmatrix} c & 0 & s \\ 0 & 1 & 0 \\ -s & 0 & c \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\0&0&1\\0&1&0 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}

表示向量 AP⃗{^A}\vec{P} 在坐标系依次经历了旋转，置换，反转三个变换后，在新的坐标系下的表示。

旋转因子的性质#

  • 旋转因子是正交矩阵，满足RTR=IR^TR=I

  • 旋转因子的行列式为1，∣R∣=1|R|=1

  • 旋转因子的逆矩阵等于其转置矩阵，R−1=RTR^{-1}=R^T

  • 多个旋转因子相乘仍然是一个旋转因子

坐标变换矩阵这一块#

上文的旋转矩阵更类似于一种“局部旋转”，即在固定坐标系下对向量进行旋转。而坐标变换矩阵则用于描述不同坐标系之间的转换关系。比如说不同的舵机都会有自己的基底坐标系，我们需要将它们转换到一个统一的全局坐标系下进行计算。

用矩阵 APBorg{^A}P_{Borg} 表示在A基底下B基底的平移变换。也就是B 的原点在A坐标系下的表示：

用矩阵 ARB{^A}R_B 表示在A基底下B基底的旋转变换。也就是B 的基底在A坐标系下的表示：

ARB=[AXBAYBAZB]=[X^B⋅X^AY^B⋅X^AZ^B⋅X^AX^B⋅Y^AY^B⋅Y^AZ^B⋅Y^AX^B⋅Z^AY^B⋅Z^AZ^B⋅Z^A]{^A}R_B = \begin{bmatrix} {^A}X_B & {^A}Y_B & {^A}Z_B \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \hat{X}_B\cdot \hat{X}_A & \hat{Y}_B\cdot \hat{X}_A & \hat{Z}_B\cdot \hat{X}_A \\ \hat{X}_B\cdot \hat{Y}_A & \hat{Y}_B\cdot \hat{Y}_A & \hat{Z}_B\cdot \hat{Y}_A \\ \hat{X}_B\cdot \hat{Z}_A & \hat{Y}_B\cdot \hat{Z}_A & \hat{Z}_B\cdot \hat{Z}_A \end{bmatrix}

对于坐标变换矩阵的连乘

ARC=ARB⋅BRC{^A}R_C = {^A}R_B \cdot {^B}R_C

齐次变换矩阵这一块#

齐次变换矩阵是将旋转和平移结合在一起的矩阵，通常表示为4x4的形式：

ATB=[ARBAPBorg01]{^A}T_B = \begin{bmatrix} {^A}R_B & {^A}P_{Borg} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

其中，ARB{^A}R_B 是在A基底看B基底的旋转矩阵（可以是旋转因子和置换阵与反转阵的结合），APBorg{^A}P_{Borg} 是在A基底看B基底的平移向量。

其次变换矩阵左乘与右乘#

需要注意的是，其次变换矩阵形式上包含旋转和平移，左乘和右乘对平移旋转的顺序有影响

左乘：先旋转后平移，不改变参考系，只改变向量

右乘：先平移后旋转，改变参考系，不改变向量

特别地，当右乘作用于基底时，可以得到新的坐标系，这就是正向运动学的数学基础

{B}={A}⋅ATB\{B\}=\{A\}\cdot {^A}T_B

齐次变换矩阵也满足连乘。

坐标变换这一块
https://biscuit0613.github.io/posts/rm/rm_frametransform/
作者
Biscuit
发布于
2025-10-17
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2维随机变量及其分布 习题
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