矩阵的初等变换 - Biscuitの赛博小窝

Biscuit

哈基米，你要大步大步地走下去啊，不行，要悠哒悠哒才能欣赏到沿途的风景。

公告

欢迎来到我的博客喵。

679 字

3 分钟

矩阵的初等变换

2026-03-11

无标签

矩阵的初等变换，可以归结为三种基本的行列操作：

定义：如果矩阵 $A$ 可以通过有限次的初等变换得到矩阵 $B$ ，则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 是初等等价的。表示为 $A \sim B$ 。

用于初等变换的矩阵叫做初等矩阵(基本矩阵)，它是通过对单位矩阵 $I$ 进行一次初等变换得到的矩阵。每一个初等变换都对应一个初等矩阵 $E$ ，

例如，下面是一个初等矩阵 $E$ ，它是通过将单位矩阵的第三行乘以 2 得到的：EA 就相当于对矩阵 $A$ 的第三行进行伸缩变换。

E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}

口诀：初等阵左乘行变换，右乘列变换

矩阵的行操作常常用于求解线性方程组、计算矩阵的秩以及求逆矩阵等问题。

列操作则在某些特定的算法中使用，例如在计算矩阵的特征值和特征向量时。

初等阵的性质#

下面用 $E$ 表示一个初等矩阵，

$E_{ij}$ 表示对于第 $i$ 行（列）和第 $j$ 行（列）互换；

$E_{i}(c)$ 表示对于第 $i$ 行（列）乘以标量 $c$ ；

$E_{ij}(c)$ 表示对于第 $i$ 行（列）加上第 $j$ 行（列）的 $c$ 倍。

每一个初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵也是一个初等矩阵
- $E_{ij}$ 的逆矩阵是 $E_{ij}$ 本身，因为交换两行（列）两次会回到原来的位置。
- $E_{i}(c)$ 的逆矩阵是 $E_{i}(1/c)$ ，因为将第 $i$ 行（列）乘以 $c$ 的逆操作是将第 $i$ 行（列）乘以 $1/c$ 。
- $E_{ij}(c)$ 的逆矩阵是 $E_{ij}(-c)$ ，因为将第 $i$ 行（列）加上第 $j$ 行（列）的 $c$ 倍的逆操作是将第 $i$ 行（列）加上第 $j$ 行（列）的 $-c$ 倍。
初等矩阵的乘积仍然是一个初等矩阵。
通过初等矩阵的乘积可以实现任意的初等变换。
对于行列式的影响：
- 交换两行（列）会改变行列式的符号。
- 将一行（列）乘以标量 $c$ 会将行列式乘以 $c$ 。
- 将一行（列）加上另一行（列）的 $c$ 倍不会改变行列式的值。