biscuitの博客

定义#

对角矩阵是指在一个方阵中，只有主对角线上的元素可能非零，而其他位置的元素都是零的矩阵。形式化定义如下：

其中 $d_1, d_2, \ldots, d_n$ 是对角线上的元素，可以是任意实数。

性质#

如果把矩阵看作加工向量的机器，普通矩阵会把向量旋转 + 缩放，而对角阵非常纯粹：它 只做缩放，不旋转 。

• 如果 $d_1 = 2$，意味着它把向量在 $x$ 轴方向拉长 2 倍。

• 如果 $d_2 = 0.5$，意味着它把向量在 $y$ 轴方向压缩一半。

• …

• 各轴独立：每个轴的缩放互不干扰。

计算#

对角矩阵的计算非常简单：

• 乘法极快：
  • 两个对角阵相乘，只需要把对应的对角元素相乘即可。
  • 对角阵和向量相乘，也只需要把向量的每个分量分别乘以对应的对角元素(看作不同坐标轴上缩放程度不一样)。这大大减少了计算量，尤其在高维空间中。

• 求幂简单：想求 $D^{100}$？不需要乘一百次，直接把对角线上的每个数字求 100 次方。
• 行列式好算：$\det(D)$ 就是主对角线所有元素的乘积。
• 逆矩阵秒出：只要对角线上没有 0，逆矩阵 $D^{-1}$ 就是把对角线元素全部取倒数
• 特征值：对于对角阵，对角线上的数字直接就是它的特征值。