biscuitの博客

定义判断#

1. 含有零向量的集合一定是线性相关的。
2. 如果集合中的向量数量超过了空间的维数，那么这个集合一定是线性相关的。 形式化语言是：设向量组 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ 位于一个 $m$ 维空间中即可被 $\{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_m\}$ 线性表示，如果 $n > m$，则该向量组一定是线性相关的。
3. 向量组中部分向量相关，则整体向量组相关。
4. 向量组整体向量无关，则部分向量组无关。

矩阵判别法#

将向量组 $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ 作为矩阵的列向量构成一个矩阵 $A$

根据线性无关的定义，存在一系列非零标量 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 使得 $c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \ldots + c_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$，这相当于矩阵 $A$ 的列向量的线性组合等于零向量：

如果矩阵 $A$ 的秩小于 $n$，则该向量组是线性相关的

如果矩阵 $A$ 的秩等于 $n$，则该向量组是线性无关的.

A = CR#

刚才构造的AC之间有如下关系：

$R$ 叫做矩阵 $A$ 的行阶梯形矩阵，它是通过对矩阵 $A$ 进行初等行变换得到的一个特殊形式的矩阵。

$R$ 是一个行阶梯形矩阵（echelon form），即满足以下条件：

1. 所有非零行都在零行的上方。
2. 每个非零行的首个非零元素（称为主元）的列指标从上往下严格递增。

特别的，当满足以下条件时，称为行最简阶梯形矩阵（reduced row echelon form）：

1. $R$ 是一个行阶梯形矩阵。
2. $R$ 的主元都是 1。
3. $R$ 的主元所在列的其他元素都是 0。

不难发现R的行向量也是线性无关的，因为每一行的01位置不同，所以R的行空间的维数也是r。被C左乘可以看作将R的行向量进行线性组合得到A的行向量，所以A的行空间的维数也是r。

满秩#

设矩阵 $A$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，如果矩阵 $A$ 的秩等于 n（列数），则称矩阵 $A$ 是列满秩的。这意味着矩阵 $A$ 的列向量是线性无关的，并且矩阵 $A$ 的列空间的维数等于 $n$。

同理，如果矩阵 $A$ 的秩等于 m（行数），则称矩阵 $A$ 是行满秩的。这意味着矩阵 $A$ 的行向量是线性无关的，并且矩阵 $A$ 的行空间的维数等于 $m$。

当矩阵是一个方阵（即 $m = n$）时，如果矩阵 $A$ 的秩等于 $n$（或 $m$），则称矩阵 $A$ 是满秩的。这意味着矩阵 $A$ 的行向量和列向量都是线性无关的，并且矩阵 $A$ 的行空间和列空间的维数都等于 $n$（或 $m$）。