如果说 PCA 是为了“压缩信息”，那么 RPCA（Robust PCA，鲁棒主成分分析） 就是为了“剔除脏数据”。
在处理实际问题时，数据往往不干净。普通的 PCA 对离群点（Outliers）非常敏感，只要有一个巨大的噪声点，PCA 的主轴就会被带偏。而 RPCA 的出现就是为了解决这个问题。
RPCA 的核心原理：低秩 + 稀疏
RPCA 假设你的原始矩阵 可以分解为两个矩阵之和：
其中， (Low-Rank)：低秩矩阵。它代表了数据的“背景”或“本质结构”。比如一段固定摄像机拍摄的视频，背景（地板、墙壁）在每一帧几乎不变，这部分数据就是低秩的。
(Sparse)：稀疏矩阵。它代表了数据中的“噪声”或“前景”。比如视频中突然走过的人、图像上的斑点噪声。这部分数据在空间上分布很稀疏。
数学表达
我们要找一个秩尽可能小的 和一个尽可能稀疏的 。
由于 和 范数是很难求解的（NP-hard），数学家们把它们替换成了更容易算的核范数（Nuclear Norm） 和 范数 。
TIP理想情况（非凸）： 原始的 RPCA 目标是最小化 。但 函数在数学上是非连续、非凸的。可以想象成函数图像上有很多突变的“坑”，计算机很难找到全局最优解，通常是 NP-hard 问题。
凸松弛： 既然原始问题算不动，数学家就找一个跟它长得最像、但是平滑且凸的函数来代替它。就像把一个凹凸不平的坑洼地铺上了一层平滑的毯子，这样用梯度下降等方法就能轻松找到底部的最优解。
应用： 核范数就是 的凸松弛，而 范数就是 范数的凸松弛。
核范数：矩阵的核范数是其奇异值的和。它是秩的凸松弛，能够有效地逼近秩。
L1范数：矩阵的L1范数是其元素绝对值的和。它是稀疏性的凸松弛，能够有效地逼近L0范数。
优化方法：不精确增广拉格朗日乘子法 (Inexact ALM)
目标函数（增广拉格朗日函数）
算法在迭代中实际上在最小化：
-
是乘子矩阵（用来惩罚不符合 的情况）。
-
是惩罚因子，随着迭代不断增大。