biscuitの博客

指数函数定义#

对于$z=x+iy$，称函数$f(z)=e^x(\cos y+i\sin y)$为复变数z的指数函数，记作$exp z$

根据欧拉公式

有

TIP

如果对z进行任意分解，$z=z_1+z_2,z_j=x_j+iy_j$

$$\begin{align*} e^z=e^{z_1+z_2}&=e^{x_1+x_2}(\cos(y_1+y_2)+i\sin(y_1+y_2))\\ &=e^{x_1+x_2}(\cos y_1\cos y_2-\sin y_1\sin y_2+i(\sin y_1\cos y_2-\cos y_1\sin y_2))\\ &=e^{x_1+x_2}(\cos y_1+i\sin y_1)(\cos y_2+i\sin y_2)\\ &=e^{z_1}\cdot e^{z_2} \end{align*}$$

显然这个定义满足指数运算的同态。

• 这里的z不再具有实函数中“幂”的意义，只作为expz的简写

指数函数的性质#

1. $\forall z\in C,e^z\neq 0$

2. $e^z$在整个复平面$C$上解析且在$C$上无穷次可导，导数不变$\frac{de^z}{dz}=e^z$

3. 满足同态式$e^{z_1+z_2}=e^{z_1}\cdot e^{z_2}$

4. $e^z$是以$2k\pi i$为周期的周期函数

   • $e^{2k\pi i}=1$

5. 辐角函数$arg(e^z)=y+2k\pi$

对数函数定义#

$\forall z\neq 0$，满足方程$e^\omega =z$的函数$\omega=f(z)$称为复变数z的对数函数，记作$\omega=Ln z$

令$\omega=u+iv$

由于$Argz$是多值函数，$Ln z$也是多值函数，每两个值相差$2k\pi$的整数倍

对数函数的主值#

$z$的辐角取主值$argz$时$Ln z$的取值称为$Ln z$ 的主值。记作：

其余值称为分支

• 复变函数中，负数可以取对数
• 当$z=x>0$时，$\ln z=\ln |z|+iargz=\ln x；\\Ln z=\ln z+2k\pi=\ln x+2k\pi$回到了正实数的对数函数。发现正实数的对数函数也是无穷多值的。

对数函数的性质#

1. 运算性质：

   $$\ln z_1z_2=\ln z_1+\ln z_2\\[5bp] \ln {\frac{z_1}{z_2}}=\ln z_1-\ln z_2\\[5bp] \text{但是 $\ln z^n=n\ln z$不再成立}$$

2. 连续性（对于主值，辐角$(-\pi,\pi]$，对于每一个支，辐角$(-\pi+2k\pi,\pi+2k\pi]$） $\ln z=\ln|z|+iargz$，在去除原点和负实轴的平面内连续(对数函数的连续性取决于辐角函数)

3. 解析性（对于主值，辐角$(-\pi,\pi]$，对于每一个支，辐角$(-\pi+2k\pi,\pi+2k\pi]$） $\ln z=\ln|z|+iargz$，$\omega=\ln z$是$e^z$的反函数，结合反函数求导法则，$\ln z$去除原点和负实轴的平面内解析，且

   $$\frac{d\ Ln z}{dz}=\frac{d\ln z}{dz}=\frac{1}{\frac{de^\omega}{d\omega}}=\frac{1}{e^\omega}=\frac{1}{z}$$

• 2,3对于其分支亦成立。

复数的幂乘#

类比实数

在复数里规定幂乘：

当b为任意整数时，$b2k\pi$为$2k\pi$的整数倍，$a^b$为单值。

当$b=\frac{p}{q}\ (p,q$互质)时，$k$可以取$0,1,2,3,...q-1,a^b$总共有$q$个取值。

对于其他情况，有无穷多值。

e.g.求$i^i$

幂函数的定义#

形如$z^b=e^{b\ Ln z},z\neq0,b$为任意复常数的函数称为幂函数

当 $Argz=\arg z\in(-\pi,\pi]$ 时，类比对数函数，得到主值幂函数，其余值成为分支

幂函数的性质#

1. 四则运算类比指数函数
2. 连续性和解析性：幂函数是由 $e^\omega$ （处处解析）和 $\omega=b\ Lnz$（去掉原点和负实轴解析）复合而成。所以幂函数在去掉原点和负实轴的平面内连续且解析
3. 求导： $$\begin{align*} (z^b)^\prime&= (e^{b\ Lnz})^\prime\\ &=(e^{b\ Lnz})\cdot b\cdot\frac{1}{z}\\ &=z^b\cdot b\cdot \frac{1}{z}\\ &=bz^{b-1} \end{align*}$$

复数三角函数的定义#

由欧拉公式：

现将欧拉公式中的$\theta$推广到复数： 对任意复数z

称为z的正弦函数和余弦函数

复数三角函数的性质#

1. $cos z$ 和$sinz$ 都是以$2\pi$为周期的函数

2. $\cos(-z)=\cos z$；$\sin(-z)=-\sin z$

3. $cos z$ 和$sinz$ 都是复平面内的解析函数（本质是指数函数相加减），且求导（用欧指数形式推导）：

   $$\begin{align*} (\cos z)^\prime&=-\sin z\\ (\sin z)^\prime&= \cos z \end{align*}$$

4. $\cos ^2z+\sin^2z=1$

5. 两角和差公式和实变函数完全一致

6. $|\cos z|\leq 1$,$|\sin z|\leq 1$在复数域内不成立

双曲正弦和双曲余弦#

推导过程：展开$\cos(x+iy)$和$\sin(x+iy)$。