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Biscuit
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复变函数：泰勒级数和洛朗级数
2025-10-14
复变函数
泰勒级数
/
洛朗级数

泰勒级数#

在复分析中，由于幂级数所表示的函数是解析函数。我们把解析函数在某点所对应的幂级数展开称为泰勒级数

泰勒级数定义#

设函数 f(z)f(z) 在点 z0z_0 的邻域内解析，则 f(z)f(z) 在点 z0z_0 处的泰勒展开式为：

f(z)=∑n=0∞f(n)(z0)n!(z−z0)n  ,∣z−z0∣<Rf(z)=\sum_{n=0}^{\infin}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n\;,|z-z_0|<R

收敛半径的几何意义：从展开中心 z0z_0 到函数最近奇点的距离。

image.png

例如 eze^z 在整个平面都解析，则 R=∞R=\infin ,11−z\frac{1}{1-z} 在 z0=0z_0=0 处展开，奇点在z=1,那么R=1

泰勒级数的系数公式#

方法1：由幂级数的系数公式

设 f(z)=∑n=0∞an(z−z0)n对两边同时求n阶导，得f(n)(z)=0+ann!+∑k=n+1∞akn!(z−z0)k−n−1令z=z0，得f(n)(z0)=ann!∴an=f(n)(z0)n!\begin{align*} &\text{设 }f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\\ &\text{对两边同时求n阶导，得}\\ &f^{(n)}(z)=0+a_nn!+\sum_{k=n+1}^{\infty}a_kn!(z-z_0)^{k-n-1}\\ &\text{令}z=z_0\text{，得}\\ &f^{(n)}(z_0)=a_nn!\\ &\therefore a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \end{align*}

方法2：由柯西积分公式

设 f(z)=∑n=0∞an(z−z0)n两边同时除以(z−z0)n+1，得f(z)(z−z0)n+1=∑k=0∞ak(z−z0)k−n−1对两边同时沿闭曲线γ积分，得∫γf(z)(z−z0)n+1 dz=∑k=0∞ak∫γ(z−z0)k−n−1 dz由柯西积分公式，∫γ(z−z0)k−n−1 dz={2πi  ,k=n0  ,k≠n∴∫γf(z)(z−z0)n+1 dz=an⋅2πi∴an=12πi∫γf(z)(z−z0)n+1 dz\begin{align*} &\text{设 }f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\\ &\text{两边同时除以}(z-z_0)^{n+1}\text{，得}\\ &\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-z_0)^{k-n-1}\\ &\text{对两边同时沿闭曲线}\gamma\text{积分，得}\\ &\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\int_\gamma(z-z_0)^{k-n-1}\,dz\\ &\text{由柯西积分公式，}\int_\gamma(z-z_0)^{k-n-1}\,dz=\begin{cases} 2\pi i\;,k=n\\ 0\;,k\neq n \end{cases}\\ &\therefore\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz=a_n\cdot 2\pi i\\ &\therefore a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz \end{align*}

常见函数的泰勒级数展开#

还是分两种，直接法和间接法

常见的泰勒展开式就是实函数把自变量从x换成z即可

洛朗级数#

泰勒级数的收敛圆比较捞，从零开始逐渐拓展到最近的奇点。如果是从孤立奇点出发，向外拓展呢？这时就需要用到洛朗级数。

洛朗级数是泰勒级数更一般的推广，直观上看是从解析圆域推广到解析圆环。

基本概念回顾

解析点：函数在该点的某个邻域内解析。

奇点：函数在该点不解析，但在该点的某个去心邻域内解析。

孤立奇点：如果在某个邻域中，只有 z0z_0 这一处是奇点，我们称它为孤立奇点。

环形区域：指两个同心圆(均为逆时针正向)之间的区域，内圆半径为 rr ，外圆半径为 RR 。rr 可以为 00 ，此时内圆退化为一个点。RR 可以为 ∞\infty ，此时外圆退化为半径为 RR，圆心为展开中心的圆外的复平面。

洛朗级数定义#

设函数 f(z)f(z) 在孤立奇点附近的环形区域 A={z:r<∣z−z0∣<R}A = \{z: r < |z-z_0| < R\} 内解析，则它可以展开为洛朗级数：

f(z)=∑n=−∞∞cn(z−z0)n,r<∣z−z0∣<Rf(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n (z-z_0)^n, \quad r<|z-z_0|<R

其中包含了 正幂部分 和 负幂部分：

  • 正幂部分：∑n=0∞cn(z−z0)n\sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n，类似泰勒级数，收敛于外圆内 ∣z−z0∣<R|z-z_0|<R 的区域
  • 负幂部分：∑n=1∞c−n(z−z0)−n\sum_{n=1}^\infty c_{-n} (z-z_0)^{-n}，体现奇点的性质，收敛于内圆外 ∣z−z0∣>r|z-z_0|>r （也就是 1∣z−z0∣<r0\frac{1}{|z-z_0|}<r_0，r0r_0 是级数 ∑n=1∞c−n(1z−z0)n\sum_{n=1}^\infty c_{-n} (\frac{1}{z-z_0})^{n} 的收敛半径，r=1r0r=\dfrac{1}{r_0}） 的区域
  • 综合起来：整个洛朗级数收敛于环形区域 r<∣z−z0∣<Rr<|z-z_0|<R。

洛朗级数系数公式#

与泰勒级数类似(同样来自柯西积分公式)

cn=12πi∫γf(ζ)(ζ−z0)n+1 dζ n=0,±1,±2,…c_n = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}\, d\zeta\,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots

其中 γ\gamma 是任意一个围绕 z0z_0 的闭合曲线，且位于环形区域内。

但是，在洛朗级数中，cn不一定等于f(n)(z0)n!c_n\text{不一定等于}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}

常见的洛朗级数展开#

如果奇点在外圆环外（上），那么奇点所在的就是式子就是正幂项，正幂部分的展开与泰勒级数相同

如果奇点在内圆环内（上），那么奇点所在的就是式子就是负幂项，换元，被展开的自变量是 1z\frac{1}{z}，然后展开方式和泰勒级数相同

复变函数：泰勒级数和洛朗级数
https://biscuit0613.github.io/posts/math/cmplxfunc_taylor_laurentseries/
作者
Biscuit
发布于
2025-10-14
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
复变函数：留数
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