两个重要不等式 - Biscuitの赛博小窝

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两个重要不等式

2025-12-08

概率论与数理统计

概率论

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马尔可夫不等式

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切比雪夫不等式

马尔可夫不等式#

马尔可夫不等式是切比雪夫不等式他爹

马尔可夫不等式用来估计非负随机变量大于某个正数的概率上界

P(X \geq a) \leq \frac{\mathbb{E}(X)}{a} \quad (a>0)

马尔可夫不等式推导#

用期望的定义：

\begin{aligned} \mathbb{E}(X) &= \int_{0}^{+\infty} x f(x) dx\\ &=\underbrace{\int_{0}^{a} x f(x) dx}_{>0} + \int_{a}^{+\infty} x f(x) dx\\[15pt] &\geq \int_{a}^{+\infty} x f(x) dx,\;\;plus \;\;x \geq a\\ &\geq \int_{a}^{+\infty} a f(x) dx\\ \iff&\geq a \int_{a}^{+\infty} f(x) dx\\ \end{aligned}

切比雪夫不等式#

切比雪夫不等式用来估计随机变量偏离其均值超过某个正数的概率上界，就是 $X$ 不能偏离期望太多

P(|X - \mathbb{E}(X)| \geq k) \leq \frac{\mathbb{D}(X)}{k^2} \quad (k>0)

或

P(|X - \mathbb{E}(X)| < k) \geq 1 - \frac{\mathbb{D}(X)}{k^2} \quad (k>0)

切比雪夫不等式推导#

对左式两边平方：

P((X - \mathbb{E}(X))^2 \geq k^2) \leq \frac{\mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^2]}{k^2}

用一下方差的定义：

P((X - \mathbb{E}(X))^2 \geq k^2) \leq \frac{\mathbb{D}(X)}{k^2}

两个重要不等式

https://biscuit0613.github.io/posts/math/pt_budengshi/

作者

Biscuit

发布于

2025-12-08

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0