biscuitの博客

Gram-Schmidt正交化#

Gram-Schmidt正交化是一种逐步构造正交矩阵 $Q$ 的方法。对于矩阵 $A$ 的列向量 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n$，我们可以通过以下步骤构造 $Q$：

1. 初始化 $Q$ 的第一列为 $\mathbf{q}_1 = \frac{\mathbf{a}_1}{\|\mathbf{a}_1\|}$。
2. 对于 $k = 2, 3, \ldots, n$，计算Q的第 $k$ 列 $\mathbf{q}_k$：
   • 计算 $\mathbf{u}_k = \mathbf{a}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \langle \mathbf{a}_k, \mathbf{q}_j \rangle \mathbf{q}_j$。
   • 将 $\mathbf{u}_k$ 归一化得到 $\mathbf{q}_k = \frac{\mathbf{u}_k}{\|\mathbf{u}_k\|}$。

对于 $R$ 的计算，我们可以通过以下步骤得到：

1. 对于 $i = 1, 2, \ldots, n$，计算 $R_{ii} = \langle \mathbf{a}_i, \mathbf{q}_i \rangle$。
2. 对于 $i < j$，计算 $R_{ij} = \langle \mathbf{a}_j, \mathbf{q}_i \rangle$。
3. 对于 $i > j$，设置 $R_{ij} = 0$。

Householder变换#

Householder变换是一种通过反射来构造正交矩阵 $Q$ 的方法。对于矩阵 $A$ 的列向量 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n$，我们可以通过以下步骤构造 $Q$：

1. 对于 $k = 1, 2, \ldots, n$，计算 Householder矩阵 $H_k$：

   • 计算 $\mathbf{v}_k = \mathbf{a}_k - \|\mathbf{a}_k\| \mathbf{e}_k$，其中 $\mathbf{e}_k$ 是第 $k$ 个标准基向量。
   • 计算 $H_k = I - 2 \frac{\mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^T}{\mathbf{v}_k^T \mathbf{v}_k}$。

2. 将 $A$ 乘以 $H_k$ 得到新的矩阵 $A_k = H_k A$。

3. 重复步骤 1 和 2，直到得到一个上三角矩阵 $R$。

对于 $R$ 的计算，我们可以通过以下步骤得到：

1. 对于 $i = 1, 2, \ldots, n$，计算 $R_{ii} = \langle \mathbf{a}_i, \mathbf{q}_i \rangle$。
2. 对于 $i < j$，计算 $R_{ij} = \langle \mathbf{a}_j, \mathbf{q}_i \rangle$。
3. 对于 $i > j$，设置 $R_{ij} = 0$。

1.迭代求解特征值和特征向量#

参考特征值和特征向量中的QR算法部分。