TIP上一篇介绍了点运算（灰度变换、直方图均衡化），它们仅操作单一像素，不关心邻域。这一篇开始进入邻域运算——一个像素的输出由其周围邻域共同决定。邻域内的像素关系决定了图像的纹理、边缘和结构，这是空间域滤波的核心。
滤波的核心思想是：
使用一个小的模板（filter / kernel）在图像上滑动，局部区域内元素相乘并相加
g(x,y)=T[f(x,y)]其中 T 是一个线性或非线性变换，f(x,y) 是输入图像，g(x,y) 是输出图像。
有两种符号定义：
-
当前正在计算的输出像素/输入像素的坐标。
i：输出图像（或输入图像）的水平方向坐标（列索引）。通常从左到右增加。
j：输出图像（或输入图像）的垂直方向坐标（行索引）。通常从上到下增加。
-
卷积核（filter/kernel）内的局部偏移坐标，表示相对于当前输出像素 (i,j) 的偏移量。
通常 k 和 l 的范围是 [−a,a]，其中 a 是卷积核的一半大小。
滤波的两种符号定义#
互相关形式的定义：
h[i,j]=k,l∑g[k,l]f[i+k,j+l]卷积形式的定义，二维卷积要求核在参与计算前进行水平和垂直翻转：
h[i,j]=g∗f[i,j]h[i,j]=k,l∑g[k,l]f[i−k,j−l]
- 在深度学习中通常使用互相关，但由于很多滤波器是对称的（如高斯、盒式），两者等价。
Padding-卷积的边界问题#
如果不用padding,会越卷越小。对于补边P个像素，经过卷积后输出尺寸为：
O=SN+2P−K+1其中 N 是输入图像尺寸，K 是卷积核尺寸，S 是步长，P=2K−1 (适用于 stride = 1 且 K 为奇数)是填充大小。
padding常见类型
- Zero Padding：在图像边界添加零值像素。
- Replicate Padding：复制边界像素值进行填充。
- Reflect Padding：以边界像素为中心进行镜像反射填充。
- Circular Padding：将图像视为周期性，边界像素与对面边界像素相连。
可分离卷积核#
如果一个卷积核可以表示为两个一维卷积核的外积，那么它就是可分离的。
可分离：分解成两个一维卷积操作
复杂度分析：图片大小 M×N，卷积核大小 K×K，直接卷积复杂度为 O(MN×K2)，可分离卷积复杂度为 O(MN×2K)。
卷积从连续积分变成离散累加乘法的过程#
卷积公式通常先写作连续形式：
(K∗I)(x,y)=∫−∞∞∫−∞∞K(u,v)⋅I(x−u,y−v)dudv但在计算机图像处理中，图像和核都是离散的（像素点），因此积分就变成了求和（累加乘法）。
连续卷积的定义#
对于两个连续函数 f(t) 和 g(t)，一维卷积：
(f∗g)(x)=∫−∞∞f(τ)g(x−τ)dτ二维类似。这个积分可以理解为：在每个位置 τ 取 f(τ)，乘以平移后的 g(x−τ)，然后对所有 τ 求和（积分）。
离散化#
一维离散卷积
(f∗g)[n]=m=−∞∑∞f[m]⋅g[n−m]二维：
(I∗h)[i,j]=u=−a∑av=−b∑bI[i−u,j−v]⋅h[u,v]卷积与互相关的关系#
以二维为例，标准离散卷积：
O[i,j]=u=−a∑av=−b∑bI[i−u,j−v]⋅h[u,v]
- 核 h 的大小为 (2a+1)×(2b+1)，定义在偏移坐标 (u,v) 上。
- 对于输出像素位置 (i,j)，我们将核中心对齐到输入图像中的 (i,j)，然后：
- 取出输入图像中相对偏移为 (−u,−v) 的像素值（因为卷积需要翻转核）。
- 与核的原始权重 h[u,v] 相乘。
- 对所有偏移求和。
如果核对称（如高斯核），则翻转不影响，公式简化为：
O[i,j]=u=−a∑av=−b∑bI[i+u,j+v]⋅h[u,v]:::tip 为什么要翻转核
卷积的翻转要求来自它的连续定义：(f∗g)(x)=∫f(τ)g(x−τ)dτ，其中 g(x−τ) 相对于 g(τ) 发生了左右翻转。直觉上，如果把 g 视为一个”探测器”，翻转保证它在滑过信号时不会倒着响应——核的”最左边”先触碰到信号的”最右边”。在图像处理中，对称核（高斯、Sobel 的平滑方向）使得翻转无感知差异，但非对称核（如方向滤波器）翻转和不翻转会产生完全不同的结果。
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