biscuitの博客

高斯滤波器#

一个常见的加权滤波器是高斯滤波器（Gaussian filter），其权重由高斯函数定义：

$x,y$ 定义为相对于卷积核中心的偏移量，$\sigma$ 是高斯函数的标准差，控制权重的分布范围。

当用高斯核对图像做卷积时：

1. 将高斯核的中心对齐到图像当前像素 $(i,j)$。

2. 对于核上的每一个偏移位置 $(x,y)$，从图像中取出对应像素值 $I(i+x,j+y)$，具体正负需要约定（通常$x$ 向右为正，$y$ 向下为正）

3. 乘以核权重 $G(x,y)$，累加。

性质：

• 核心参数 $\sigma$ 控制滤波器的平滑程度，$\sigma$ 越大，滤波效果越强。

• 属于低通滤波器，能有效滤除“高频”分量。

• 高斯核是可分离核：先进行一维横向高斯模糊，再进行一维纵向高斯模糊，计算复杂度从 $O(n^2)$ 降为 $O(n)$。

• 两次使用标准差为 $\sigma$ 的高斯核进行卷积，等价于使用一次标准差为 $\sqrt{2}\sigma$ 的高斯核进行卷积。

• 滤波器尺寸和 $\sigma$ 的关系：$kernel\ size \approx 6\sigma + 1$ 因为高斯分布在 $\pm 3\sigma$ 范围内包含了 99.7% 的能量。

• 有时候使用的权重是 $\frac{G(i,j)}{\sum_{i,j} G(i,j)}$ ， 归一化确保核的亮度不变性（平滑后平均亮度不变）。

基于sigma产生高斯核：

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use std::f64::consts::PI;
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/// 生成二维高斯核
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/// - `size`: 核尺寸，必须是奇数（如 3, 5, 7）
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/// - `sigma`: 高斯标准差 (σ)
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/// 返回值：size x size 的二维浮点数组，已归一化（所有元素之和为 1）
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fn gaussian_kernel(size: usize, sigma: f64) -> Vec<Vec<f64>> {
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    assert!(size % 2 == 1, "核尺寸必须是奇数");
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    let radius = (size / 2) as i32;
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    let sigma2 = sigma * sigma;
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    let denom = 2.0 * sigma2;
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    let norm = 1.0 / (2.0 * PI * sigma2);
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    let mut kernel = vec![vec![0.0; size]; size];
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    let mut sum = 0.0;
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    for i in 0..size {
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        let x = (i as i32 - radius) as f64;
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        for j in 0..size {
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            let y = (j as i32 - radius) as f64;
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            let value = norm * (-(x*x + y*y) / denom).exp();
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            kernel[i][j] = value;
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            sum += value;
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        }
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    }
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    // 归一化，使所有权重之和为 1
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    for row in &mut kernel {
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        for val in row {
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            *val /= sum;
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        }
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    }
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    kernel
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}

双边滤波器（Bilateral filter）#

高斯滤波只考虑“空间距离”，不考虑“像素值差异”，会模糊边缘

双边滤波只和“距离近 + 像素值相似”的点做加权平均

通过两个高斯函数分别对空间距离和像素值差异进行加权：

用 $i,j$ 表示像素的坐标，用 $f(i,j)$ 表示像素的灰度值，用 $k,l$ 表示核内部的偏移坐标：

空间距离核（Domain Kernel，衡量像素在空间上的远近）：

像素值核（Range Kernel，衡量像素在灰度上的差异）：

其中 $W_p$ 是归一化因子，$\sigma_d$ 控制空间距离的权重，$\sigma_r$ 控制像素值差异的权重。

• $\sigma_d$ 控制模糊的范围，越大，越多邻域像素参与计算，平滑的范围越广；
• $\sigma_r$ 控制对灰度差异的敏感度，越大，越多像素值差异较大的像素参与计算。

每个像素都要重新计算权重，不能用卷积优化

:::tip 双边滤波调参直觉

$\sigma_d$ 和 $\sigma_r$ 分别控制”多大范围的邻居被纳入”和”多大差异的邻居被纳入”。实际调参时可以记住几条规律：

• $\sigma_d$ 固定时，$\sigma_r$ 过小 → 像素值差异被严格限制，边缘保留极好但平滑效果很弱（只有颜色完全一致的区域被平均）；$\sigma_r$ 过大 → 像素值核趋近于 1，双边滤波退化为高斯滤波。
• $\sigma_r$ 固定时，$\sigma_d$ 过小 → 只有几个像素被平均，去噪不够；$\sigma_d$ 过大 → 远处的像素即使灰度值差异大也会被纳入（$\sigma_r$ 控制跨边缘能力，但 $\sigma_d$ 过大还是会模糊细节）。
• 实践经验：$\sigma_r$ 设为图像灰度方差的 10%–20% 作为初始值，$\sigma_d$ 设为 2–5 像素。

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:::tip 各滤波器速查

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