图像分割：阈值分割与Otsu大津法

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图像分割：阈值分割与Otsu大津法

2026-06-30

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全局阈值分割#

阈值分割是图像分割中最直接的方法。给定输入图像 $I(x,y)$ 和阈值 $T$ ，输出二值图像 $B(x,y)$ 定义为：

B(x,y) = \begin{cases} 1 & (\text{前景}), \quad I(x,y) \geq T \\ 0 & (\text{背景}), \quad I(x,y) < T \end{cases}

选择什么样的 $T$ 决定了分割的质量。如果 $T$ 选在小波谷处，前景和背景就会被干净地分开；如果选在波峰上，两边都会被错误划分。人工调 $T$ 需要反复尝试，Otsu 法给出了一个自动确定的准则。

Otsu（1979）的核心思想是：最佳阈值应该使前景和背景两类之间的差异最大，或者说使两类内部的差异最小。两个角度等价。

选定阈值 $t$ 后，像素被分为两类：

\omega_0(t) = \sum_{i=0}^{t} p_i,\quad \omega_1(t) = \sum_{i=t+1}^{L-1} p_i = 1 - \omega_0

\mu_0(t) = \frac{1}{\omega_0} \sum_{i=0}^{t} i p_i,\quad \mu_1(t) = \frac{1}{\omega_1} \sum_{i=t+1}^{L-1} i p_i

全局灰度均值 $\mu_T$ 与两类的均值有以下关系：

\mu_T = \omega_0 \mu_0 + \omega_1 \mu_1

定义两类各自的方差（类内方差）：

\sigma_0^2(t) = \frac{1}{\omega_0} \sum_{i=0}^{t} (i - \mu_0)^2 p_i,\quad \sigma_1^2(t) = \frac{1}{\omega_1} \sum_{i=t+1}^{L-1} (i - \mu_1)^2 p_i

总类内方差 $\sigma_W^2 = \omega_0 \sigma_0^2 + \omega_1 \sigma_1^2$ 。类间方差定义为两类均值加权的方差：

\sigma_B^2(t) = \omega_0 (\mu_0 - \mu_T)^2 + \omega_1 (\mu_1 - \mu_T)^2

可以证明总方差 $\sigma_T^2 = \sigma_W^2 + \sigma_B^2$ ，即类内与类间之和为常数。最小化类内方差等价于最大化类间方差，通常使用后者，因为计算更简单。

Otsu 选择使类间方差最大的阈值作为最优阈值：

t^* = \argmax_{0 \leq t < L-1} \sigma_B^2(t)

展开 $\sigma_B^2$ 消去 $\mu_T$ 得到一个只依赖于 $\omega_0, \omega_1, \mu_0, \mu_1$ 的形式：

\sigma_B^2(t) = \omega_0(t) \omega_1(t) \big[\mu_0(t) - \mu_1(t)\big]^2

这个形式更直观：最优点在 $\omega_0$ 和 $\omega_1$ 平衡且两类均值相差最大的位置。

计算归一化直方图 $p_i$ 。
遍历 $t = 0, 1, \dots, L-2$ $t = 0, 1, \dots, L - 2$ ：
- 计算 $\omega_0(t), \mu_0(t), \mu_1(t)$ （可用累积直方图递推加速）。
- 计算 $\sigma_B^2(t)$ 。
取 $\sigma_B^2$ 最大的 $t$ 作为分割阈值。
输出 $B(x,y) = I(x,y) \geq t^*$ 。

Otsu 可以在 $O(L)$ 时间内完成，非常高效。

Otsu 假设直方图呈双峰分布。当直方图为单峰或平坦时，类间方差最大值对应的阈值可能没有实际意义。

多阈值 Otsu：将阈值扩展为 $(t_1, t_2, \dots, t_{K-1})$ ，最大化 $K$ 类的类间方差。计算量随 $K$ 指数增长，实际常用 $K=2$ 或 $3$ 。
Triangle 法：在直方图上从最高峰到最远端画一条线，取距离该线最远的直方图点作为阈值。适用于单峰直方图场景（如 MRI 影像）。

图像分割：阈值分割与Otsu大津法

作者

Biscuit

发布于

2026-06-30

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