biscuitの博客

邻域#

$z_0\in C,\delta\in (0,\infin)$，点集 $\{z||z-z_0|<\delta,z\in C\}$称为 $z_0$ 的邻域，记作 $U(z_0,\delta)$

去心邻域：$\{z|0<|z-z_0|<\delta,z\in C\}$称为 $z_0$ 的去心邻域，记作 $U^o(z_0,\delta)$

内点和外点#

内点：点集 $D\subset C$，如果 $z_0\in D，\exist\delta>0$，使得 $U(z_0,\delta)\subset D$，则称 $z_0$ 是 $D$ 的内点。

外点：如果 $z_0\notin D，\exist\delta>0$，使得 $U(z_0,\delta)\subsetneq D$，则称 $z_0$ 是 $D$ 的外点。

边界#

边界点：如果 $\forall\delta>0,U(z_0,\delta)\cap D\neq\emptyset,U(z_0,\delta)\cap (C- D)\neq\emptyset$，就称 $z_0$ 为 $D$ 的边界点。（人话：$z_0$ 的邻域有一部分在 $D$ 中有一部分不在）

边界：D所有边界点的集合，记作 $\partial D$

• 注意：$\partial D$ 不一定属于 $D$

• 对于一个点集（非空），可能所有点都是内点(e.g.任意开集)，可能所有点都是边界（e.g.曲线，圆周等线，离散的点形成的点集），但不可能所有点都是外点。

开集与闭集#

开集： 如果 $G$ 的每个点都是内点，则称 $G$ 为开集

• 开集的边界点一定不属于这个开集

闭集 ： 如果 $G$ 的边界点全部都属于 $G$ , 则称 $G$ 为闭集

有界集与无界集#

若存在 $\delta > 0$ ，使得点集 $G$ 包含在原点的 $\delta$ 邻域内，即 $\exist\delta>0,G\subset U(0,\delta)$，则 $G$ 称为有界集 ，否则称为非有界集或无界集。

• 典型的无界集：扩充复平面中复数无穷大$\infty$的邻域：$\forall R>0,\{z||z|>R,z\in C\cup\{\infty\}\}$

区域与闭区域#

区域：设 $D$ 为点集，若 $D$ 是开集，且是连通的，则称 $D$ 为区域。

• 区域的连通性：$D$ 中任意两个有限点可以用包含于 $D$ 的折线连接
• 区域就是联通的开集

闭区域：区域 $D$ 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 $\overline{D}$

• 注意：区域或开区域一定会包含内点，所以曲线，离散点（所有点都是边界点）不能算做区域

连续曲线，简单曲线#

连续曲线：设 $x(t),y(t)$ 是关于实变量 $t$ 的两个函数，且 $x(t),y(t)$ 在区间 $[a,b]$ 连续，则由 $x(t),y(t)$ 决定的复数方程：

所决定的点集 $L$, 称为复平面上的连续曲线，这个方程称为曲线的参数方程。

简单曲线： 对满足 $a <t_1 <b,a<t_2 <b,t_1\neq t_2,z(t_1) = z(t_2)$成立时, 点 $z(t_1)$称为曲线 $L$ 的重点; 无重点的连续曲线称为简单曲线；满足 $z(a) = z(b)$ 的简单曲线称为简单闭曲线.

• 简单曲线一定连续且单射（不自交）

• 简单闭曲线不自交，但要求端点处相等。

• 简单闭曲线可以将复平面分割成三个互不相交的部分

• 若尔当定理：任意一个若尔当闭曲线都可以将复平面分成两个没有公共点的区域，内部有界称为内区域，外部无界称为外区域，均以闭曲线为边界。

由此引出单连通和复连通的概念：对于任意一个区域 $D$, 如果 $D$ 中任意一条简单闭曲线内的区域均属于 $D$, 那么 $D$ 称为单连通区域，否则复连通。

光滑曲线#

光滑曲线：设简单曲线 $L$ 的参数方程：

如果有

则称 $L$ 为光滑曲线

光滑曲线对实部虚部函数的分析学性质要求：

1. 连续性：$\forall t\in[a,b], x(t),y(t)$连续,保证曲线无断点。

2. 可导性：$\forall t \in (a,b),x^\prime,y^\prime$存在保证曲线局部切线存在。

3. 导数不同时为零：保证曲线无停点、尖点或折线段。

光滑曲线和连续曲线，简单曲线的辨析：

• 光滑曲线是可导的连续曲线
• 光滑曲线光滑性只约束导数非零和可导性，并不限制曲线是否自交。因此光滑曲线不一定是简单曲线（光滑曲线可以自交），但简单曲线如果可导则一定是光滑曲线