二维随机变量函数的分布 - Biscuitの赛博小窝

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二维随机变量函数的分布

2025-08-17

概率论

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$Z=g(X,Y)$ ，其中 $(X,Y)$ 是二维随机变量， $Z$ 是一维随机变量，求 $Z$ 的分布。

回归定义，求分布函数：

F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(g(X,Y)\leq z)\\ =\iint\limits_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy\\

难点：找积分区域和求积分。

离散型随机变量函数的分布#

设离散型随机变量 $(X,Y)$ 的分布列为 $P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$ , $Z=g(X,Y)$ 是一维离散型随机变量，用 $z_k=g(x_i,y_j)$ 表示 $Z$ 的取值，则Z的分布列：

P(Z=z_k)=\sum_{g(X,Y)=z_k}P(X=x_i,Y=y_j)\\ =\sum_{g(x_i,y_j)=z_k}P(X=x_i)\cdot P(Y=y_j)\;\;\text{XY独立} \\

eg: $(X,Y)$ 分布列

X\Y	0	1	2
-1	0.1	0.15	0.2
1	0.15	0.1	0.3

$Z=2X+Y Z=-2,-1,0,2,3,4$

Z	-2	-1	0	2	3	4
P	0.1	0.12	0.2	0.15	0.1	0.3

再生性：同类型的随机变量，在独立的情况下，其联合分布依然是该类型，并且参数为各自参数之和

以泊松分布为例： $X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2),Z=X+Y$

\begin{aligned} P(X=i)&=\frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1},P(Y=j)=\frac{\lambda_2^j}{j!}e^{-\lambda_2}\\ Z&=0,1,2,3...\\ P(Z=k)&=P(X+Y=k)\\ &=P(\underset{i=0}{\cup}(X=i,Y=k-i))\\ &=\sum_{i=0}^k P(X=i,Y=k-i)\\ &=\sum_{i=0}^kP(X=i)P(Y=k-i)\\ &=\frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1}\cdot\frac{\lambda_2^{k-i}}{(k-i)!}e^{-\lambda_2}\\[5bp] &=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\sim P(\lambda_1+\lambda_2)\\ \end{aligned}

\begin{aligned} F_Z(z)&=P(Z\leq z)=P(X+Y\leq z)\\ &=\iint\limits_{x+y\leq z}f(x,y)dxdy\\ &=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{z-x}f(x,y)dydx\\ \end{aligned}

换元，令 $y=u-x$ ，

F_Z(z)=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{z}f(x,u-x)dudx\\

交换积分次序

F_Z(z)=\int_{-\infin}^{z}\underbrace{\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,u-x)dx}_{=f_U(u)}d u\\[8bp] f_Z(z)=F_Z^\prime(z)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,z-x)dx

就得到了 $Z=X+Y$ 的概率密度函数。

\boxed{f_Z(z)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,z-x)dx=\int_{-\infin}^{+\infin}f(z-y,y)dy}

更特殊地，如过 $X,Y$ 独立，则

\boxed{f_Z(z)=\int_{-\infin}^{+\infin}f_X(x)f_Y(z-x)dx=\int_{-\infin}^{+\infin}f_X(z-y)f_Y(y)dy}

WARNING
无论是哪种形式，都需要实际考虑积分区间。

TIP
对x积分则 $f_X$ 不变， $x$ 保留支撑集， $y=z-x$ 在 $y$ 支撑集，反解出x的积分区间；
对y积分则 $f_Y$ 不变， $y$ 保留支撑集， $x=z-y$ 在 $x$ 支撑集，反解出y的积分区间。

\begin{aligned} F_Z(z)&=P(Z\leq z)=P(X+Y\leq z)\\ &=\iint\limits_{x+y\leq z}f(x,y)dxdy\\ &=\int_{-\infin}^{+\infin}\int_{-\infin}^{z-x}f(x,y)dydx\\ \end{aligned}

到这一步，老老实实分析积分区间做二重积分。

二维随机变量函数的分布

作者

biscuit

发布于

2025-08-17

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