二项分布#
前情提要：伯努利实验
在随机试验的条件下，结果只有两种可能:发生或者不发生每次试验的结果之间相互独立，互不干扰。
定义：在重复 n 次独立的伯努利试验中，探究 n 次试验中成功的次数 k 。当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
若随机变量 X 服从参数为 (n,p) 的二项分布,
记作：X∼Bin(n,p)
二项分布的分布律#
P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k,k=0,1,2,…,n其中(kn)＝Cnk=k!(n−k)!n!这个组合数表示在n次实验中选k次成功。
期望与方差#
E[X]=npVar(X)=np(1−p)
泊松分布#
泊松分布的分布律#
P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,…其中 λ>0 称随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记作 X∼π(λ)
泊松逼近定理#
如果 n→∞,p→0,np=λ 保持为正常数，则
k!(n−k)!n!pk(1−p)n−k→k!λke−λ,k=0,1,2,…在实际计算中，往往只需要 n≥10,p≤0.1 即可
如果从失败的角度考虑，成功 k 次 ⇔ 失败 n−k 次，这两个概率应该相等，实际计算中 n≥10,p≥0.9
k!(n−k)!n!pk(1−p)n−k→(n−k)![n(1−p)]n−ke−n(1−p),k=0,1,2,…这里λ=n(1−p),k换成n−k0.1≤p≤0.9时可以采用正态近似
eg: 2500人参保，保险费12元。出事了赔2000元，出事的概率是0.002,求保险公司亏本的概率？
solution
每个人只有可能出意外或不出意外，这是一个重复2500次的伯努利实验
设事件A：保险公司亏本，X为出意外的人数
P(A)=P(X≥15)=k=16∑2500C2500k0.998(2500−k)n=2500,p=0.002,λ=np=5可以用泊松分布近似≈k=16∑2500k!5ke−5=k=16∑∞k!5ke−5−k=2501∑∞k!5ke−5≈0.00007−0=0.00007
