离散随机变量的期望#
离散随机变量的期望就是其所有可能取值的加权平均值，权重是各取值的概率。设随机变量 X 取值为 x1,x2,…,xn，对应的概率为 p1,p2,…,pn，则期望值 E(X) 定义为：
E(X)=i=1∑+∞xipi这个形式和级数很像，当级数收敛时期望才有意义
0-1 分布的期望#
分布列：
| X | 1 | 0 |
|---|
| P(X) | p | 1−p |
期望：
E(X)=1⋅p+0⋅(1−p)=p二项分布的期望#
X∼B(n,p)分布列：
P(x=k)=Cnkpk(1−p)n−kk=0,1,2,…,n期望：
E(X)=npNOTE[证明]
E(X)=k=0∑nkCnkpk(1−p)n−k=k=0∑nk⋅k!(n−k)!n!pk(1−p)n−k=k=1∑n(k−1)!(n−k)!n(n−1)!pk(1−p)n−k=npk=1∑n(k−1)!(n−k)!(n−1)!pk−1(1−p)(n−1)−(k−1)=npj=0∑n−1Cn−1jpj(1−p)(n−1)−j=np(p+(1−p))n−1=np泊松分布的期望#
X∼P(λ)分布列：
P(X=k)=k!λke−λk=0,1,2,…期望：
E(X)=λ助记
泊松分布和二项分布存在近似，近似条件是 n→∞，p→0，且 np=λ 为常数。
NOTE[证明]
E(X)=k=1∑∞k⋅k!λke−λ=k=1∑∞(k−1)!λke−λ=λe−λk=1∑∞(k−1)!λk−1=λe−λj=0∑∞j!λj级数这一块=λe−λeλ=λ超几何分布的期望#
X∼H(N,M,n)分布列：
P(X=k)=CNnCMkCN−Mn−kmax(0,n−(N−M))≤k≤min(n,M)期望：
E(X)=n⋅NMTIP就是实验次数乘以成功概率，很像二项分布的期望
NOTE[证明]
设随机变量 X 表示抽到的好球数，定义指示变量：
Ik={1,0,第 k 次抽到好球第 k 次抽到坏球则有：
X=I1+I2+⋯+In根据期望的线性性质，有：
E(X)=E(I1)+E(I2)+⋯+E(In)由于每次抽到好球的概率为 NM，因此：
E(Ik)=1⋅NM+0⋅(1−NM)=NM所以：
E(X)=n⋅NM
连续随机变量的期望#
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则期望值 E(X) 定义为：
E(X)=∫−∞∞xf(x)dx如果该反常积分收敛，则期望存在且有意义。
均匀分布的期望#
X∼U(a,b)概率密度函数：
f(x)=⎩⎨⎧b−a1,0,a≤x≤botherwise期望：
E(X)=2a+bNOTE[证明]
E(X)=∫abx⋅b−a1dx=b−a1[2x2]ab=b−a1(2b2−a2)=2b+a指数分布的期望#
X∼Exp(λ)概率密度函数：
f(x)={λe−λx,0,x≥0x<0期望：
E(X)=λ1NOTE[证明]
E(X)=∫0∞xλe−λxdx=[−xe−λx]0∞+∫0∞e−λxdx分部积分=0+[−λ1e−λx]0∞=λ1正态分布的期望#
X∼N(μ,σ2)概率密度函数：
f(x)=σ2π1exp{−2σ2(x−μ)2},x∈R期望：
E(X)=μNOTE[证明]
E(X)=∫−∞∞x⋅σ2π1exp{−2σ2(x−μ)2}dx=∫−∞∞(y+μ)⋅σ2π1exp{−2σ2y2}dy(y=x−μ)=μ∫−∞∞σ2π1exp{−2σ2y2}dy+∫−∞∞y⋅σ2π1exp{−2σ2y2}dy=μ⋅1+0(第二项为奇函数积分)=μ柯西分布的期望#
：：：warning
柯西分布没有定义期望值，因为其积分发散。
：：：
X∼Cauchy(x0,γ)概率密度函数：
f(x)=πγ[1+(γx−x0)2]1,x∈R期望：
E(X) 不存在NOTE[说明]
柯西分布的尾部较重，导致期望积分发散，因此没有定义期望值。
随机变量函数的期望#
设 Y=g(X)，则 Y 的期望为：
E(Y)=x∑g(x)P(X=x)E(Y)=∫−∞∞g(x)f(x)dx其中 P(X=x) 是 X 的分布列，f(x) 是 X 的概率密度函数。
TIP就是把 x 换成 g(x)，其他不变
期望的性质#
- 线性性质：
E[aX+b]=aE[X]+b⟺⎩⎨⎧E[X1+X2+⋯+Xn]=E[X1]+E[X2]+⋯+E[Xn]若Xi相互独立：E[X1X2⋯Xn]=E[X1]E[X2]⋯E[Xn]
