biscuitの博客

核心思想#

图像中存在大量重复的局部结构（patch）。给定一个待去噪的像素点，遍历全图寻找与它周围 patch 相似的所有 patch，将这些 patch 中心像素的加权平均值作为去噪结果。权重由 patch 之间的相似度决定，而非像素之间的空间距离。

数学定义#

设 $y$ 为含噪图像，$\hat{x}(p)$ 为像素 $p$ 的去噪结果。以 $p$ 为中心的 patch $P_p$ 和以 $q$ 为中心的 patch $P_q$ 之间的相似度由高斯加权欧几里得距离度量：

其中 $G_a$ 是标准差为 $a$ 的高斯核，用于给 patch 内的中心像素更大权重。$K$ 为 patch 尺寸（通常 $K=7$）。

相似度权重为：

$\sigma$ 是噪声标准差，$h$ 是滤波参数（控制权重的衰减速度）。$d$ 中减去 $2\sigma^2$ 是因为两个独立含噪 patch 的期望距离中包含噪声贡献，需做偏差校正。

最终输出为加权平均：

$S(p)$ 是以 $p$ 为中心的搜索窗口（通常 $21\times21$ 或 $31\times31$），而非整幅图像——在全图搜索的代价过高，最佳相似 patch 通常也落在局部邻域内。

参数影响#

符号定义#

• $y$：含噪输入图像
• $\hat{x}^{\text{basic}}$：基础估计输出
• $\hat{x}^{\text{final}}$：最终估计输出
• $P$：参考 patch，$P^{\text{HT}}$ 和 $P^{\text{Wiener}}$ 分别表示两步中提取的块组
• $T_{3D}$：3D 可分离变换（2D DCT + 1D Haar 或 1D Walsh-Hadamard）
• $\tau_{3D}$：硬阈值门限
• $\gamma_{3D}^{\text{Wiener}}$：维纳滤波系数

Step 1：基础估计#

1a. Block Matching

遍历图像，对每个参考 patch $P_R$，在搜索窗内找到所有与之相似的 patch。相似度用两个 patch 的归一化 $L_2$ 距离衡量，距离小于阈值 $\tau_{\text{match}}$ 的 patch 被视为匹配。

1b. 3D Stacking

将匹配到的所有 patch（包括参考 patch自身）堆叠成一个 3D 柱状体。柱状体的三维结构为：$K \times K \times N_{\text{match}}$，其中 $K$ 为 patch 尺寸，$N_{\text{match}}$ 为匹配到的 patch 数量。

1c. 3D 变换与硬阈值

对 3D 柱状体施加可分离的 3D 变换：先在二维空间（patch 内）做 2D DCT，再在第三维（跨 patch）做 1D 变换（Haar 或 Walsh-Hadamard）。跨 patch 的变换利用了 NLM 的”多块平均”思想，但将”平均”提升到了变换域——噪声在 3D 谱中分散为小系数，信号集中在少数大系数上。

变换后执行硬阈值收缩：

1d. 聚合

逆变换回 2D 空间后，每个 patch 被放回它在原图中的位置。同一像素可能出现在多个 patch 中（因为不同参考 patch 的搜索窗会有重叠），最终像素值取所有覆盖该像素的变换域估计值的加权平均。权重为该 3D 块组中保留的非零系数数量（估计更可靠的块组获得更大权重）。

这一步的输出称为基础估计 $\hat{x}^{\text{basic}}$，已经去除了大部分噪声，但边缘处可能因硬阈值的”硬切割”出现轻微振铃。

Step 2：最终估计#

2a. 重新匹配

在基础估计 $\hat{x}^{\text{basic}}$（已大幅降噪）上重新执行 block matching。此时图像噪声已显著降低，匹配距离更准确，能找到更多正确的相似块。

2b. 3D 变换与维纳滤波

分别从含噪图 $y$ 和基础估计 $\hat{x}^{\text{basic}}$ 中提取对应的 3D 块组 $P^{\text{Wiener}}$（含噪）和 $P^{\text{basic}}$（基础）。对两组块做相同的 3D 变换。

维纳滤波系数由基础估计的能量谱决定：

然后用该系数对含噪块组的变换域系数做缩放：

维纳滤波的系数是连续的（0–1 之间），不像硬阈值那样做二值截断，因此 Step 2 的输出更平滑、振铃更少。

2c. 聚合

与 Step 1 相同的方法，将所有重叠块的估计结果加权聚合，得到最终估计 $\hat{x}^{\text{final}}$。

:::tip NLM vs BM3D

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