从差分到梯度#
一维离散信号的一阶与二阶差分#
连续函数的导数在离散域中用差分近似。对一维离散信号 f[n]，取 δ=1：
f′[n]=f[n+1]−f[n]f′′[n]=f′[n]−f′[n−1]=f[n+1]−2f[n]+f[n−1]二阶差分的系数模式 [1,−2,1] 是后面拉普拉斯算子在二维上的直接推广。
图像一阶微分与梯度#
图像是二维离散信号，不能直接求导，用差分代替。图像在 (x,y) 处的一阶微分（梯度）定义为：
Ix(x,y)=I(x+1,y)−I(x−1,y),Iy(x,y)=I(x,y+1)−I(x,y−1)等价于卷积核形式：
Kx=0−10000010,Ky=000−101000梯度是一个向量 ∇I=(Ix,Iy)，可以分解为幅值和方向：
| 分量 | 公式 | 物理含义 |
|---|
| 幅值 | ∥∇I∥=Ix2+Iy2 | 边缘强度 |
| 方向 | θ=arctan(Iy/Ix) | 边缘法线方向（边缘自身方向是 θ+π/2） |
图像二阶微分与拉普拉斯算子#
对一阶梯度再求一次微分，得到拉普拉斯算子 ∇2：
∇2I=∂x2∂2I+∂y2∂2I离散后的近似形式是一个 3×3 卷积核：
| 类型 | 核 | 特点 |
|---|
| 4-邻域 | ∇2=0101−41010 | 只考虑正交方向 |
| 8-邻域 | ∇2=1111−81111 | 加入对角线，各向同性更好 |
一阶微分和二阶微分检测边缘的方式不同：一阶微分在边缘处产生峰值（找极大值），二阶微分在边缘处产生过零点（找符号变化）。二阶微分对噪声的敏感度更高，实际使用时常先做高斯平滑再求拉普拉斯（即 LoG）。
:::tip 快速复习
- 梯度幅值 → 边缘强度（越大越可能是边缘）
- 梯度方向 → 垂直于边缘方向
- 拉普拉斯 → 零交叉点定位边缘（对噪声敏感）
- 一阶 vs 二阶：一阶找峰值，二阶找过零
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梯度算子#
以下三种算子都是用卷积核近似图像梯度，区别在于邻域大小和权重分配方式。
Roberts 算子（2×2）#
Kx=[100−1],Ky=[0−110]沿对角线方向计算差分，计算量极小。但 2×2 邻域提供的信息太少，对噪声极其敏感，方向性不直观（对角线），实际应用很少。
Prewitt 算子（3×3）#
Kx=−1−1−1000111,Ky=−101−101−1013×3 邻域带来的平滑效果使噪声抑制能力好于 Roberts。加权方式简单（列方向取平均），属于可分离核。
Sobel 算子（3×3，最常用）#
Kx=−1−2−1000121,Ky=−101−202−101Sobel 在 Prewitt 的基础上给中心行/列赋予了更大的权重（2 替换 1），增强了中心像素的影响力。它也是可分离的：
Kx=[−101]∗121,Ky=[−1−2−1]∗101竖方向的 [121]T 起到了高斯平滑的效果。
:::tip 算子对比
| 算子 | 核尺寸 | 可分离 | 噪声敏感度 | 方向性 | 适用场景 |
|---|
| Roberts | 2×2 | 否 | 高 | 对角线 | 极少使用 |
| Prewitt | 3×3 | 是 | 中 | 水平/垂直 | 早期简单边缘检测 |
| Sobel | 3×3 | 是 | 低 | 水平/垂直 | 工业界最常用 |
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TIPCanny 边缘检测是本节内容的一个重要延伸。Canny 完整地覆盖了从梯度计算到单像素宽二值边缘图的四条流程（高斯平滑→梯度幅值/方向→NMS→双阈值滞后跟踪），详细内容见本系列中专门的一篇。
图像锐化#
锐化的基本思路#
锐化是平滑的逆操作。图像中的”细节”可以定义为原始图像与平滑结果的差：
detail=Iorig−Ismooth将细节加回原图，就得到锐化结果：
Isharp=Iorig+α⋅detail=(1+α)Iorig−α⋅Ismoothα 控制锐化强度，α=1 为标准非锐化掩模。
基于一阶微分的锐化#
直接增强梯度幅值本身不产生锐化效果，因为梯度幅值是标量，丢失了方向信息。一阶微分在锐化中通常不作为直接手段。
基于二阶微分的锐化：Laplacian 锐化#
二阶微分在边缘处产生过零点，拉普拉斯算子检测到的是边缘两侧的灰度突变。利用这一性质可以做锐化：
Isharp(x,y)=I(x,y)−α⋅∇2I(x,y)减号的由来：拉普拉斯算子的卷积核中心为负数，在边缘暗侧响应为正、亮侧响应为负，从原图中减去拉普拉斯结果等于在暗侧减正变得更暗、在亮侧减负变得更亮，两侧对比增强。
:::tip 一阶 vs 二阶微分
| 特性 | 一阶微分（Sobel） | 二阶微分（Laplacian） |
|---|
| 对边缘的响应 | 在边缘处产生峰值 | 在边缘处过零 |
| 定位方式 | 找极大值 | 找零交叉点 |
| 噪声敏感度 | 较低 | 较高（先平滑再做） |
| 锐化使用 | 不直接使用 | 是锐化的主要手段 |
| 响应强度 | 与边缘宽度有关 | 与方向无关（各向同性） |
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